BeszámolĂł a 2011. Ă©vi Eötvös-versenyrĹ‘l

Radnai Gyula

2011. oktĂłber 14-Ă©n dĂ©lután 3 Ăłrai kezdettel kerĂĽlt sor a háborĂş utáni 63. Eötvös-versenyre Budapesten Ă©s a terv szerint 15, valĂłjában csak 9 vidĂ©ki városban. Sajnos Sopronban nem sikerĂĽlt megrendezni a versenyt, BĂ©kĂ©scsabán, Egerben, NyĂ­regyházán, SzĂ©kesfehĂ©rváron Ă©s Szombathelyen pedig egyetlen versenyzĹ‘ sem jelent meg a verseny meghirdetett helyszĂ­nĂ©n. FeltűnĹ‘ volt a vidĂ©ki diákok Ă©rdektelensĂ©ge; mĂ©g olyan egyetemi városban is, mint Debrecen, csupán egyetlen versenyzĹ‘ akadt. Az Eötvös-verseny rendezĹ‘je az Eötvös Loránd Fizikai Társulat, amelynek helyi csoportjai adják a verseny helyi szervezĹ‘it. Az Ĺ‘ munkájuk veszett kárba az emlĂ­tett városokban. Szegeden Ă©s PĂ©csett 11-11 versenyzĹ‘, Budapesten 67 versenyzĹ‘ indult, a többi helyszĂ­nen egyaránt 10-nĂ©l kevesebben voltak. ElĹ‘ször fordult elĹ‘, hogy a vidĂ©ki helyszĂ­neken egyĂĽttvĂ©ve kevesebb versenyzĹ‘ (41) jelent meg, mint Budapesten.

Az összesen 108 versenyzĹ‘bĹ‘l 26-an voltak a kĂ©t nagy budapesti egyetem (BME, ELTE) elsĹ‘Ă©ves hallgatĂłi, Ă©s pontosan ugyanennyi diák jött a FĹ‘városi Fazekas Mihály GyakorlĂł GimnáziumbĂłl. Az egyetemisták közĂĽl öten Ă©rettsĂ©giztek a Fazekasban, nĂ©gyen az ELTE Apáczai Csere János GyakorlĂł Gimnáziumban. Innen további hat diák indult a versenyen. A vidĂ©ki közĂ©piskolák közĂĽl a szegedi RadnĂłti MiklĂłs KĂ­sĂ©rleti GimnáziumbĂłl jött a legtöbb (8) versenyzĹ‘. KĂĽlföldi versenyzĹ‘ egyetlen akadt, az ELTE egyik elsĹ‘Ă©ves hallgatĂłja.

A feladatokat az Eötvös-versenybizottság tűzte ki, Ă©s a versenyzĹ‘k dolgozatait is ugyanez a bizottság Ă©rtĂ©kelte. (Tagjai Honyek Gyula, Károlyházy Frigyes, Vigh MátĂ©, elnöke Radnai Gyula.) A feladatok megoldására 300 perc állt rendelkezĂ©sre.

IsmertetjĂĽk a feladatokat Ă©s azok megoldását.

1. feladat. Pályafutásuk vĂ©gĂ©n a sorsukra hagyott műholdak a sebessĂ©g nĂ©gyzetĂ©vel arányos lĂ©gellenállási erĹ‘ hatására fokozatosan veszĂ­tenek mechanikai energiájukbĂłl, Ă©s vĂ©gĂĽl a lĂ©gkör sűrűbb rĂ©tegeibe Ă©rve elĂ©gnek. BeláthatĂł, hogy az eredetileg körpályákon keringĹ‘ műholdak a Föld felszĂ­nĂ©hez közeledve mindvĂ©gig közelĂ­tĹ‘leg körpályákon haladnak, miközben a ,,körpályák'' sugara lassan csökken.

TegyĂĽk fel, hogy egy m=500 kg tömegű műholdat, amely az EgyenlĂ­tĹ‘ sĂ­kjában, h=400 km -es magasságban körpályán kering, magára hagynak! A műholdra hatĂł lĂ©gellenállási erĹ‘t az FlĂ©g=K\(\displaystyle \varrho\)v2 alakban adhatjuk meg, ahol K=0,23 m2, \(\displaystyle \varrho\) a levegĹ‘ sűrűsĂ©ge a műhold magasságában, v pedig a műhold sebessĂ©ge.

a) Határozzuk meg a műhold sebessĂ©gváltozását, miközben pályamagassága a felĂ©re csökken (h \(\displaystyle \rightarrow\)h/2)!

b) A lĂ©gellenállási erĹ‘, valamint a műholdra hatĂł kĂ©t erĹ‘ (gravitáciĂłs Ă©s lĂ©gellenállási) eredĹ‘jĂ©nek pályamenti (Ă©rintĹ‘leges) összetevĹ‘je között egy egyszerű összefĂĽggĂ©s állapĂ­thatĂł meg. Hogy szĂłl ez?

c) Mekkora a levegĹ‘ sűrűsĂ©ge h/2=200 km magasságban, ha itt egy fordulat alatt a műhold pályasugara 100 m-rel csökken?

A megoldáshoz szükséges további adatokat táblázatokból vehetjük.

(Honyek Gyula)

Megoldás. Adottak:

m=500 kg, h=400 km=4.105 m,

\(\displaystyle r_{1}=R+h,\quad r_{2}=R+\frac{h}{2},\)

\(\displaystyle F_\text{l\'eg}=K\varrho v^2~(\text{ahol}~K=0{,}23~{\rm m}^2),\quad\Delta r=-\varepsilon\ (=-100~\rm m).\)

TáblázatbĂłl vehetĹ‘ a Föld egyenlĂ­tĹ‘i R sugara, M tömege Ă©s a gravitáciĂłs törvĂ©nyben szereplĹ‘ \(\displaystyle \gamma\) ĂˇllandĂł:

R=6378 km=6,378.106 m,

M=5,974.1024 kg,

\(\displaystyle \gamma\)=6,673.10-11 m3/(kg.s2).

a) A feladatban megfogalmazott feltĂ©telek szerint ,,a műholdak a Föld felszĂ­nĂ©hez közeledve mindvĂ©gig közelĂ­tĹ‘en körpályán haladnak'', ezĂ©rt jĂł közelĂ­tĂ©sben Ă­rhatjuk:

\(\displaystyle F_{\rm grav}=ma_{\rm cp},\qquad\gamma\frac{mM}{r^2}=m\frac{v^2}{r}. \)

Ennek alapján

\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{\gamma M}{r}}, \)

amelybe behelyettesĂ­tve r1 Ă©s r2 Ă©rtĂ©keit, megkapjuk a kĂ©t sebessĂ©get:

\(\displaystyle v_{1}=7669{,}0~\frac{\rm m}{\rm s},\qquad v_{2}=7784{,}7~\frac{\rm m}{\rm s}. \)

A műhold sebességváltozása tehát

\(\displaystyle {v_{2}-v_{1}=115{,}7~\frac{\rm m}{\rm s\)0.} ">

A lĂ©gellenállás következtĂ©ben nĹ‘tt a műhold sebessĂ©ge! Szokás ezt űrhajĂłzási paradoxonnak is nevezni. A lĂ©gellenállási, sĂşrlĂłdási erĹ‘ munkája szĂĽksĂ©gkĂ©ppen negatĂ­v, mĂ©gis nĹ‘ a műhold mozgási energiája! Hogyan lehetsĂ©ges ez? Erre kaphatunk választ a feladat b) Ă©s c) rĂ©szĂ©nek megoldása során. Érdemes lesz mindkĂ©t esetben abbĂłl indulunk ki, hogyan változik meg a műhold mechanikai összenergiája, vagyis a kinetikus Ă©s potenciális energia összege. Ez az, ami a lĂ©gellenállási erĹ‘ hatására csökkenhet.

b) A légellenállási erő teljesítménye:

\(\displaystyle \overrightarrow{F}_\text{l\'eg}\cdot\overrightarrow{v}=-{F}_\text{l\'eg}\cdot{v}<0. \)

Ez egyenlő az összenergia változási sebességével:

(1)\(\displaystyle -{F}_\text{l\'eg}\cdot{v}=\frac{\Delta E_\text{\''ossz}}{\Delta t}. \)

Az összenergia kinetikus és potenciális részből áll:

\(\displaystyle E_\text{\''ossz}=E_\text{kin}+E_\text{pot} =\frac12mv^2+\left(-\gamma\frac{mM}{r}\right). \)

E kĂ©t rĂ©sz azonban kifejezhetĹ‘ egymásbĂłl. ĂŤrjuk fel Ăşjra a dinamika alaptörvĂ©nyĂ©t:

\(\displaystyle \gamma\frac{mM}{r^2}=m\frac{v^2}{r},\qquad\text{azaz}\qquad\gamma\frac{mM}{r}=m{v^2}, \)

amiből kapjuk:

\(\displaystyle E_\text{kin}=\frac12\,mv^2=\frac12\,\gamma\frac{mM}{r}=\frac12(-E_\text{pot}). \)

Az összenergiát tehát így is felírhatjuk:

\(\displaystyle E_\text{\''ossz}=E_\text{kin}+E_\text{pot}=E_\text{kin}-2E_\text{kin}=-E_\text{kin}<0. \)

(Az, hogy az összenergia negatív, nem kell, hogy megijesszen senkit, az atomfizikában számos példát látunk erre.)

Most tehát (1) így írható:

\(\displaystyle -{F}_\text{l\'eg}\cdot{v}=-\frac{\Delta E_\text{kin}}{\Delta t}, \)

illetve

\(\displaystyle {F}_\text{l\'eg}\cdot{v}=\frac{\Delta\left(\frac12mv^2\right)}{\Delta t}= mv\frac{\Delta v}{\Delta t}=mv\,a_{\rm t}. \)

A légellenállásra egy érdekes kifejezést kaptunk:

(2)\(\displaystyle {F}_\text{l\'eg}=ma_{\rm t}. \)

Az mat kifejezĂ©s a tangenciális (pályamenti) eredĹ‘ erĹ‘t adja, amely most a gravitáciĂłs erĹ‘ pályamenti összetevĹ‘jĂ©nek Ă©s a lĂ©gellenállási erĹ‘nek az eredĹ‘je (1. Ăˇbra), tehát

\(\displaystyle ma_{\rm t}={F}_{\text{grav}\|}-{F}_\text{l\'eg}. \)

Ezt vessük össze (2)-vel:

\(\displaystyle {F}_\text{l\'eg}={F}_{\text{grav}\|}-{F}_\text{l\'eg}. \)

1. ábra. A feladat számadataival: \(\displaystyle {F}_\text{grav}=4{,}6~\)kN, \(\displaystyle {F}_\text{l\'eg}=5{,}6~{\rm mN}\), \(\displaystyle \varphi\)=1,2.10-6 rad=0,25''. A vázlatos ábra nem méretarányos

Az az egyszerű összefĂĽggĂ©s tehát, amely a lĂ©gellenállási erĹ‘, valamint a műholdra hatĂł kĂ©t erĹ‘ (gravitáciĂłs Ă©s lĂ©gellenállási) eredĹ‘jĂ©nek pályamenti összetevĹ‘je között fennáll az, hogy e kettĹ‘ nagysága egyenlĹ‘ egymással.

c) IsmĂ©t az összenergia változásábĂłl Ă©rdemes kiindulnunk, de az összenergiát most ne a kinetikus, hanem a potenciális energiával fejezzĂĽk ki, felhasználva az \(\displaystyle E_\text{kin}=-E_\text{pot}/2\) összefĂĽggĂ©st:

\(\displaystyle E_\text{\''ossz}=E_\text{kin}+E_\text{pot} =-\frac{E_\text{pot}}{2}+E_\text{pot}=\frac{E_\text{pot}}{2}.\)

\(\displaystyle \frac{\Delta E_\text{\''ossz}}{\Delta t}=\frac12\,\frac{\Delta E_\text{pot}}{\Delta t},\)

ami \(\displaystyle \Delta\)r-rel szorozva Ă©s osztva Ă­gy is Ă­rhatĂł:

\(\displaystyle \frac{\Delta E_\text{\''ossz}}{\Delta t}=\frac12\,\frac{\Delta E_\text{pot}}{\Delta r}\,\frac{\Delta r}{\Delta t}. \)

Mit mondhatunk a sugár változási sebessĂ©gĂ©rĹ‘l? Ismert adat, hogy egyetlen fordulat során a pályasugár \(\displaystyle \varepsilon\)=100 mĂ©terrel csökken, tehát

\(\displaystyle \frac{\Delta r}{\Delta t}=\frac{-\varepsilon}{T} =\frac{-\varepsilon}{\;\frac{2r\pi}{v}\;}. \)

Határozzuk meg a potenciális energia Ă©s a pályasugár változásának viszonyát:

\(\displaystyle \frac{\Delta E_\text{pot}}{\Delta r} =\frac{\Delta\left(-\gamma\frac{mM}{r}\right)}{\Delta r}=\gamma\frac{mM}{r^2}. \)

Most már felĂ­rhatjuk az (1) egyenletet, amelyben az összenergiát a potenciális energiával fejezzĂĽk ki:

\(\displaystyle -{F}_\text{l\'eg}\cdot{v}=\frac{\Delta E_\text{\''ossz}}{\Delta t}=\frac12\,\frac{\Delta E_\text{pot}}{\Delta t}=\frac12\,\frac{\Delta E_\text{pot}}{\Delta r}\,\frac{\Delta r}{\Delta t},\)

\(\displaystyle -{F}_\text{l\'eg}\cdot{v}=\frac12\,\gamma\frac{mM}{r^2}\,\frac{-\varepsilon}{\;\frac{2r\pi}{v}\;},\)

\(\displaystyle {F}_\text{l\'eg}=\frac{1}{4\pi}\,\gamma\frac{mM}{r^3}\,\varepsilon,\)

\(\displaystyle K\varrho v^2=\frac{1}{4\pi}\,\gamma\frac{mM}{r^3}\,\varepsilon.\)

Ebben az egyenletben már csak \(\displaystyle \varrho\) az egyetlen ismeretlen, Ă©ppen ezt kellett kiszámĂ­tanunk! De hogy mĂ©g szebb, elegánsabb formulát kapjunk, használjuk fel Ăşjra a v2=\(\displaystyle \gamma\)M/r összefĂĽggĂ©st, Ă­gy a következĹ‘t kapjuk:

\(\displaystyle \varrho=\frac{1}{4\pi\,K}\,\frac{m}{r^2}\,\varepsilon. \)

r=r2, valamint \(\displaystyle \varepsilon\) megadott értékét behelyettesítve

\(\displaystyle \varrho=4\cdot10^{-10}~\frac{\rm kg}{\rm m^3}. \)

KiegĂ©szĂ­tĂ©s: Az a) kĂ©rdĂ©sre mg=mv2/r felhasználásával is válaszolhatunk, ha figyelembe vesszĂĽk a gravitáciĂłs gyorsulás magasságfĂĽggĂ©sĂ©t: \(\displaystyle g=g_{0}\left(1-\frac{h}{r}\right)^{2}\). Ezzel

\(\displaystyle v=\sqrt{gr}=\left(1-\frac{h}{r}\right)\,\sqrt{g_{0}r}, \)

ahol g0 az egyenlĂ­tĹ‘i gravitáciĂłs gyorsulás, amely azonban a táblázatban adott egyenlĂ­tĹ‘i nehĂ©zsĂ©gi gyorsulásnál nagyobb! A kĂĽlönbsĂ©g a Föld forgásábĂłl adĂłdĂł ,,centri'' gyorsulás.

2. feladat. Egy fĂĽggĹ‘legesen állĂł, henger alakĂş zárt tartály magassága legyen mondjuk 20 cm! TegyĂĽk fel, hogy a tartály falának Ă©s belsĹ‘ tartalmának hĹ‘mĂ©rsĂ©klete huzamos ideje T=1 oC! A tartalom pedig egy, a tartály alaplapját borĂ­tĂł papĂ­rvĂ©konyságĂş vĂ­zrĂ©teg Ă©s fölötte ennek a telĂ­tett gĹ‘ze, más semmi. Az oldalfalat hĹ‘szigetelĹ‘nek tekinthetjĂĽk, az alap- Ă©s fedĹ‘lap azonban igen jĂł hĹ‘vezetĹ‘ vĂ©kony fĂ©mlemez, amelyeknek a hĹ‘mĂ©rsĂ©kletĂ©t kĂ­vĂĽlrĹ‘l szabályozhatjuk.

A lehetĹ‘sĂ©ggel Ă©lve emeljĂĽk a fedĹ‘lap hĹ‘mĂ©rsĂ©kletĂ©t Tf=100 oC-ra, miközben az alaplap hĹ‘mĂ©rsĂ©kletĂ©t T=1 oC-on tartjuk, Ă©s gondoskodjunk rĂłla, hogy ezek az Ă©rtĂ©kek elĂ©g sokáig Ă­gy maradjanak! Várjuk meg, amĂ­g az edĂ©nyben kialakul a vĂ­z, illetve a gĹ‘z Ăşj stacionárius állapota, amely már nem változik tovább!

a) A korábbi egyensúlyi állapothoz képest megváltozott-e említésre méltó mértékben a gőzállapotban lévő vízmolekulák száma, és ha igen, akkor nőtt vagy csökkent?

b) Vajon mi lenne a válasz, ha a kezdeti állapotban a vĂ­zrĂ©teg magassága 10 cm lenne?

(Károlyházy Frigyes)

Megoldás. Ha egy folyadĂ©k saját telĂ­tett gĹ‘zĂ©vel Ă©rintkezik, akkor a gĹ‘z nyomása csak közös hĹ‘mĂ©rsĂ©kletĂĽktĹ‘l fĂĽgg. Az alul levĹ‘ 1 oC-os vĂ­z felett a gĹ‘z nyomása tehát mindkĂ©t esetben ugyanannyi. (A táblázatbĂłl interpoláciĂłval leolvashatĂł ennek aktuális Ă©rtĂ©ke: 660 Pa.)

A gĹ‘znyomás az egĂ©sz edĂ©nyben ugyanakkora, de abban az esetben, ha a hĹ‘mĂ©rsĂ©klet felfelĂ© emelkedik, a gĹ‘z sűrűsĂ©ge felfelĂ© csökken. (SzintĂ©n a táblázatbĂłl olvashatĂł ki, hogy az 1 oC-os telĂ­tett gĹ‘z sűrűsĂ©ge 5,2 g/m3, amibĹ‘l egy átlagosan 50,5 oC-os gĹ‘z sűrűsĂ©gĂ©re ,,ideális gáz közelĂ­tĂ©sben'' 4,4 g/m3 adĂłdik.)

A gĹ‘z Ăşj stacionárius (idĹ‘ben állandĂł) állapotában tehát a gĹ‘z átlagos sűrűsĂ©ge kisebb lett, vagyis a gĹ‘zállapotban levĹ‘ vĂ­zmolekulák száma csökkent (2. Ăˇbra)!

2. ábra

b) Ha a vĂ­zrĂ©teg magassága kezdetben 10 cm, a vĂ­z kitölti az edĂ©ny felĂ©t. Felette azonban ugyanĂşgy 1 oC hĹ‘mĂ©rsĂ©kletű Ă©s 660 Pa nyomásĂş telĂ­tett gĹ‘z van, mint az a) esetben.

Amikor viszont a fedĹ‘lap hĹ‘mĂ©rsĂ©kletĂ©t 100 oC-ra emeljĂĽk, már nem mondhatjuk, hogy az egĂ©sz vĂ­z 1 oC-os marad, ugyanĂşgy, mint amikor ,,papĂ­rvĂ©konyságĂş'' volt. Azt se állĂ­thatjuk persze, hogy jelentĹ‘sen felmelegszik a vĂ­z felsĹ‘ rĂ©tege, mivel a vĂ­z sokkal jobb hĹ‘vezetĹ‘, mint a vĂ­zgĹ‘z. Mennyire melegszik hát fel?

TáblázatbĂłl kiolvashatĂł, hogy a vĂ­zgĹ‘z hĹ‘vezetĂ©si egyĂĽtthatĂłja

\(\displaystyle \lambda_\text{g\H oz}=18{,}0\cdot10^{-3}\,\frac{\rm J}{\rm m\;K\;s}, \)

mĂ­g a vĂ­z hĹ‘vezetĂ©si egyĂĽtthatĂłja

\(\displaystyle \lambda_\text{v\'iz}=0{,}587\,\frac{\rm J}{\rm m\;K\;s}= 587\cdot10^{-3}\,\frac{\rm J}{\rm m\;K\;s}. \)

Mivel a vĂ­zrĂ©teg Ă©s felette a vĂ­zgĹ‘z ugyanolyan (10 cm) magas, Ă©s a kialakulĂł hĹ‘mĂ©rsĂ©kletkĂĽlönbsĂ©gek fordĂ­tva arányosak a hĹ‘vezetĂ©si egyĂĽtthatĂłkkal, ezĂ©rt a vĂ­z tetejĂ©nek Ă©s a vele Ă©rintkezĹ‘ vĂ­zgĹ‘znek a közös hĹ‘mĂ©rsĂ©kletĂ©t Tk-val jelölve felĂ­rhatjuk:

\(\displaystyle \frac{T_{\rm k}-1~{}^\circ{\rm C}}{100~{}^\circ{\rm C}-T_{\rm k}} =\frac{\lambda_\text{g\H oz}}{\lambda_\text{v\'iz}}=\frac{18\cdot10^{-3}}{587\cdot10^{-3}}. \)

Ennek alapján kapjuk Tk-ra a 4 oC-os Ă©rtĂ©ket, amit már a 3. Ăˇbrán is feltĂĽntettĂĽnk.

3. ábra

Ezek után a táblázatbĂłl extrapoláciĂłval kiolvashatjuk a 4 oC-hoz tartozĂł telĂ­tĂ©si gĹ‘znyomás nagyságát: 820 Pa. Ez is szerepel már az ábrán.

HasonlĂłkĂ©ppen kiolvashatjuk a telĂ­tett vĂ­zgĹ‘z sűrűsĂ©gĂ©nek Ă©rtĂ©kĂ©t 4 oC-on, ez 6,4 g/m3. A nyomás az egĂ©sz gĹ‘ztĂ©rben 820 Pa lesz, a gĹ‘z sűrűsĂ©ge azonban csak legalul 6,4 g/m3, felfelĂ© egyre kevesebb. MegbecsĂĽlhetjĂĽk az átlagos sűrűsĂ©get, Ăşjra csak ideális gáznak tekintve a vĂ­zgĹ‘zt, amely átlagosan 50,5 oC hĹ‘mĂ©rsĂ©kletű:

\(\displaystyle \varrho=\frac{274}{323{,}5}\cdot6{,}4\,\frac{\rm g}{\rm m^3}=5{,}4\,\frac{\rm g}{\rm m^3}. \)

Ez viszont mĂ©g mindig több, mint az 1 oC-hoz tartozĂł 5,2 g/m3 Ă©rtĂ©k, vagyis ebben az esetben a gĹ‘zállapotban levĹ‘ vĂ­zmolekulák száma nĹ‘tt!

KiegĂ©szĂ­tĂ©s: SzámĂ­tásunkban eltekintettĂĽnk a vĂ­z sűrűsĂ©gváltozásátĂłl, amely persze elhanyagolhatĂł a vĂ­zgĹ‘z sűrűsĂ©gváltozásához kĂ©pest. MĂ©gis okozhat egy kis galibát, ha figyelembe vesszĂĽk, hogy a 4 oC-os legfelsĹ‘ vĂ­zrĂ©teg sűrűsĂ©ge nagyobb, mint az alatta levĹ‘kĂ©. Ezáltal a vĂ­z mechanikailag instabillá válik az edĂ©nyben, s az egyensĂşlynak kis megzavarása is áramlásokat idĂ©zhet elĹ‘. Ha valamelyik versenyzĹ‘ erre is utalt volna a dolgozatában, a versenybizottság plusz pontokkal jutalmazta volna, de senkinek se jutott ez akkor eszĂ©be. HasonlĂłkĂ©ppen figyelmen kĂ­vĂĽl hagyta mindenki a 100 oC-os felsĹ‘ lap hĹ‘sugárzásának hatását a vĂ­zrĂ©teg hĹ‘mĂ©rsĂ©kletĂ©re, azonban ez a hatás nem is olyan jelentĹ‘s, hogy mĂłdosĂ­taná a vĂ©gsĹ‘ választ: az a) esetben csökken, a b) esetben nĹ‘ a vĂ­zgĹ‘z molekuláinak száma.

3. feladat. Egy toroid (ĂşszĂłgumi) alakĂş ,,sovány'' vasmagra szimmetrikus elrendezĂ©sben három egyforma, ,,kövĂ©r'' elektromágneses tekercs van felfűzve a 4. Ăˇbra szerint. Az elsĹ‘ tekercsre váltóáramĂş feszĂĽltsĂ©gforrást kapcsolunk, a második tekercs kivezetĂ©seit szabadon hagyjuk, a harmadik tekercs csatlakozĂłira pedig voltmĂ©rĹ‘t kötĂĽnk. Ekkor a voltmĂ©rĹ‘ a feszĂĽltsĂ©gforrás effektĂ­v Ă©rtĂ©kĂ©nek a felĂ©t mutatja.

4. ábra

Ezután a második tekercs kivezetĂ©seit a K kapcsolĂłval rövidre zárjuk. Mit mutat ebben az esetben a voltmĂ©rĹ‘?

Ăštmutatás: A tekercsek ohmos ellenállása elhanyagolhatĂł, a feszĂĽltsĂ©gforrást Ă©s a voltmĂ©rĹ‘t ideálisnak tekinthetjĂĽk. A vasmag mágneses permeabilitása nem fĂĽgg a mágneses fluxustĂłl.

(Honyek Gyula)

Megoldás. A könnyebb áttekinthetĹ‘sĂ©g vĂ©gett a tekercseket már a feladat ábráján megszámoztuk.

A szimmetrikus elrendezĂ©s miatt (a közĂ©piskolai kĂ©plettár jelölĂ©seit követve) a tekercsek önindukciĂłs Ă©s kölcsönös indukciĂłs egyĂĽtthatĂłi között az alábbi összefĂĽggĂ©seket Ă­rhatjuk fel:

\(\displaystyle L_{11}=L_{22}=L_{33},\text{jel\''olj\''uk$L$-lel};\)

\(\displaystyle \qquad\qquad L_{12}=L_{21}=L_{13}=L_{31}=L_{23}=L_{32},\text{jel\''olj\''uk $M$-mel}.\qquad\qquad\)

TekintsĂĽk az egyes tekercsekben indukált feszĂĽltsĂ©geket! Minthogy I2=0, mert a kapcsolĂł nyitva van, valamint I3\(\displaystyle \approx\)0, mert a voltmĂ©rĹ‘ ellenállása nagyon nagy, csupán az I1 áram változása indukál feszĂĽltsĂ©get.

Az 1. tekercsben \(\displaystyle U_{1}=L~\frac{\Delta I_{1}}{\Delta t}\), a 3. tekercsben pedig \(\displaystyle U_{3}=M~\frac{\Delta I_{1}}{\Delta t}\). A feladat szövege szerint \(\displaystyle U_{3}=\frac{U_{1}}{2}\), vagyis \(\displaystyle M=\frac{L}{2}\).

Zárjuk a kapcsolĂłt! Ekkor már a 2. tekercsben is fog áram folyni, vagyis az egyes tekercsekben indukált feszĂĽltsĂ©gek Ă­gy Ă­rhatĂłk fel:

\(\displaystyle U_{1}=L\,\frac{\Delta I_{1}}{\Delta t}+M\,\frac{\Delta I_{2}}{\Delta t},\)

\(\displaystyle U_{2}=M\,\frac{\Delta I_{1}}{\Delta t}+L\,\frac{\Delta I_{2}}{\Delta t},\)

\(\displaystyle U_{3}=M\,\frac{\Delta I_{1}}{\Delta t}+M\,\frac{\Delta I_{2}}{\Delta t}.\)

Azt kell Ă©szrevennĂĽnk, hogy a rövidzár miatt U2=0. Ezt felhasználva a kĂ©t áramváltozási sebessĂ©g között adĂłdik egy egyszerű összefĂĽggĂ©s:

\(\displaystyle \frac{\Delta I_{2}}{\Delta t}=-\frac{M}{L}\,\frac{\Delta I_{1}}{\Delta t}. \)

Képezzük az \(\displaystyle \frac{U_{3}}{U_{1}}\) hányadost:

\(\displaystyle \frac{U_{3}}{U_{1}}=\frac{M-\frac{M^2}{L}}{L-\frac{M^2}{L}}=\frac{1}{3}. \)

(Az utolsó lépésnél figyelembe vettük, hogy M=L/2).

Tehát a kapcsolĂł zárása után a voltmĂ©rĹ‘ a feszĂĽltsĂ©gforrás effektĂ­v Ă©rtĂ©kĂ©nek harmadát fogja mutatni.

KiegĂ©szĂ­tĂ©s: A vasmag permeabilitásának állandĂłságát akkor használtuk fel, amikor feltĂ©teleztĂĽk a tekercsek induktivitásának Ă©s a kölcsönös indukciĂłs egyĂĽtthatĂłknak az állandĂłságát, vagyis hogy pl. M=L/2 akkor is fennáll, ha zárjuk a kapcsolĂłt. Szokatlan volt a feladatban, hogy ebben a tipikusan transzformátoros összeállĂ­tásban a feszĂĽltsĂ©gek aránya lĂ©nyegesen eltĂ©r a menetszámok arányátĂłl. A mindennapi gyakorlatban ez jĂłl ismert jelensĂ©g, inkább az tekinthetĹ‘ idealizáciĂłnak, hogy az emlĂ­tett kĂ©t arány megegyezik. A mágneses mezĹ‘ ,,kiszĂłrĂłdása'' a vasmagbĂłl általában elkerĂĽlhetetlen, ha nem is olyan jelentĹ‘s mindig, mint most, ebben a feladatban.

A verseny eredménye

ElsĹ‘ dĂ­jat Ă©s 30 ezer forint pĂ©nzjutalmat vehetett át Budai Ádám, a BME fizika BSc szakos hallgatĂłja, aki a miskolci Földes Ferenc Gimnáziumban Ă©rettsĂ©gizett mint BĂ­rĂł István tanĂ­tványa; olimpiai szakkörvezetĹ‘je Zámborszky Ferenc volt.

Második dĂ­jat Ă©s 20 ezer forint pĂ©nzjutalmat hárman kaptak: JĂ©hn Zoltán, a BME fizika BSc szakos hallgatĂłja, aki PĂ©csett, a PTE Babits Mihály GyakorlĂł Gimnáziumban Ă©rettsĂ©gizett, tanára a gimnáziumban Koncz Károly, az olimpiai szakkörön Kotek LászlĂł volt; Kalina Kende, a ELTE matematika BSc szakos hallgatĂłja, aki a Fazekas Mihály FĹ‘városi GyakorlĂł Gimnáziumban Ă©rettsĂ©gizett Horváth Gábor, CsefkĂł Zoltán Ă©s Szokolai Tibor tanĂ­tványakĂ©nt; SzabĂł Attila, a pĂ©csi LeĹ‘wey Klára Gimnázium 11. Ă©vf. tanulĂłja, tanára a gimnáziumban Simon PĂ©ter, az olimpiai szakkörön Kotek LászlĂł.

Harmadik dĂ­jat Ă©s 15-15 ezer forint pĂ©nzjutalmat vehetett át kĂ©t versenyzĹ‘: Bolgár Dániel, a pĂ©csi LeĹ‘wey Klára Gimnázium 12. Ă©vf. tanulĂłja, tanárai Almási LászlĂł Ă©s Simon PĂ©ter; Kovács PĂ©ter, az ELTE Apáczai Csere János GyakorlĂł Gimnáziumának 12. Ă©vf. tanulĂłja, PákĂł Gyula tanĂ­tványa.

Hárman kaptak dicsĂ©retet Ă©s 10-10 ezer forint Ă©rtĂ©kű könyvjutalmat: Batki Bálint, a BME fizika BSc szakos hallgatĂłja, aki az ELTE Apáczai Csere János GyakorlĂł Gimnáziumban Ă©rettsĂ©gizett mint Zsigri Ferenc tanĂ­tványa; Forman Ferenc, az ELTE RadnĂłti MiklĂłs GyakorlĂł Gimnáziumának 10. Ă©vf. tanulĂłja, Honyek Gyula tanĂ­tványa; Jenei Márk, a Fazekas Mihály FĹ‘városi GyakorlĂł Gimnázium 11. Ă©vf. tanulĂłja, Dvorák CecĂ­lia Ă©s CsefkĂł Zoltán tanĂ­tványa.

Ünnepélyes díjkiosztás

2011. november 25-Ă©n dĂ©lután 3 Ăłrai kezdettel kerĂĽlt sor az ĂĽnnepĂ©lyes eredmĂ©nyhirdetĂ©sre Ă©s dĂ­jkiosztásra. A már jĂłl bevált hagyományt követve elĹ‘ször az 50, majd a 25 Ă©vvel ezelĹ‘tti Eötvös-verseny feladatainak felidĂ©zĂ©sĂ©re kerĂĽlt sor. Az akkori nyertesek közĂĽl többen is eljöttek, szĂłltak nĂ©hány szĂłt emlĂ©keikrĹ‘l, azĂłta befutott pályájukrĂłl.

Zakariás LászlĂł 1961-ben a piaristáknál Ă©rettsĂ©gizett. Az Elektronikus MĂ©rĹ‘kĂ©szĂĽlĂ©kek Gyárának dolgozĂłjakĂ©nt nyerte meg az Eötvös-versenyt, mivel a BME-re nem vettĂ©k fel. ĂŤgy emlĂ©kezett vissza a fĂ©l Ă©vszázaddal ezelĹ‘tt törtĂ©ntekre: ``A Műszaki Egyetemre második prĂłbálkozásra se vettek fel. FellebbeztĂĽnk. A fellebbezĂ©st elutasĂ­tották. A minisztĂ©riumi fellebbezĂ©shez csatoltuk az Eötvös-verseny eredmĂ©nyĂ©t. Szeptember vĂ©gĂ©n, a szĂĽletĂ©snapomon, levĂ©l Ă©rkezett a minisztĂ©riumbĂłl: Ă–römmel Ă©rtesĂ­tjĂĽk, hogy felvĂ©telt nyert a Budapesti Műszaki Egyetem VillamosmĂ©rnöki Karára. Én voltam a világ legboldogabb embere. Tisztelettel Ă©s hálával gondolok Kovács Mihály tanár Ăşrra.'' Fritz JĂłzsef MosonmagyarĂłvárrĂłl fizikusnak jelentkezett az ELTE-re, Molnár Emil a gyĹ‘ri RĂ©vai GimnáziumbĂłl matematika-fizika szakos tanárnak. MindkettĹ‘jĂĽket felvettĂ©k. Fritz JĂłzsef ma már matematikus akadĂ©mikus, Molnár Emil a BME Geometria tanszĂ©kĂ©nek vezetĹ‘jekĂ©nt ment nyugdĂ­jba. Mindhárman hálával emlĂ©keztek vissza tanáraikra, akik megszerettettĂ©k velĂĽk a fizikát, a matematikát, felkĂ©szĂ­tettĂ©k Ĺ‘ket a versenyre.

A 25 Ă©vvel ezelĹ‘tti Eötvös-versenynek kĂ©t elsĹ‘ helyezettje volt: Kaiser András Ă©s Kohári Zsolt. Mindketten eljöttek, szĂłltak is a mai nyertesekhez. A többi dĂ­jazott közĂĽl Drasny Gábor Ă©s Gyuris Viktor az EgyesĂĽlt ÁllamokbĂłl levĂ©lben ĂĽdvözöltĂ©k a sikeres versenyzĹ‘ket Ă©s dicsĂ©rtĂ©k egykori fizikatanárukat, Horváth Gábort. Leveleiket a versenybizottság tagjai olvasták fel.

Az idei Eötvös-verseny dĂ­jait KroĂł Norbert akadĂ©mikus, az Eötvös Loránd Fizikai Társulat elnöke, KĂĽrti JenĹ‘ professzor, a Társulat fĹ‘titkára Ă©s a verseny lebonyolĂ­tását Ă©s dĂ­jait anyagilag támogatĂł MOL kĂ©pviseletĂ©ben Csernik KornĂ©l adta át.

A dĂ­jazott versenyzĹ‘k tanárai a Vince KiadĂł Ă©s a Typotex KiadĂł könyvei közĂĽl válogathattak, Ă©s jelentĹ‘s kedvezmĂ©nnyel vehetnek majd rĂ©szt a 2012. Ă©vi Fizikatanári AnkĂ©ton.

Az ĂĽnnepĂ©lyes dĂ­jkiosztást követĹ‘, a RAMOSOFT Zrt. támogatásával lebonyolĂ­tott, jĂł hangulatĂş állĂłfogadás rĂ©sztvevĹ‘i között ott voltak nemcsak az idei, a 25 Ă©s 50 Ă©vvel ezelĹ‘tti dĂ­jazottak, de megjelent a 49 Ă©vvel ezelĹ‘tti Eötvös-verseny egyik nyertese is.

Remélhetőleg jövőre is találkozhatunk vele.