A KöMaL 1999. októberi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 1999. november 15-én LEJÁRT.

---

C. 550. Egy horgász a napi zsákmánya össztömegének \(\displaystyle 35\%\)-át kitevő három legnagyobb halat a mélyhűtőbe tette. A három legkisebb halat, amelyek együttesen a megmaradt rész \(\displaystyle {5 \over {13}}\)-át tették ki, elvitte a macska, a többit pedig megfőzték ebédre. Hány halat fogott a horgász?

(5 pont)

---

C. 551. Határozzuk meg az \(\displaystyle x^2+y^2=x\), \(\displaystyle 2xy=y\) egyenletrendszer összes megoldását.

(5 pont)

---

C. 552. Az ábrán látható két kör középpontja \(\displaystyle 5~{\rm cm}\)-re van egymástól, sugaraik hossza \(\displaystyle 3~{\rm cm}\) és \(\displaystyle 4~{\rm cm}\). Mekkora a két satírozott terület különbsége?

(5 pont)

---

C. 553. Egy \(\displaystyle 20~{\rm cm}\) magas, \(\displaystyle 10~{\rm cm}\) átmérőjű henger ,,meghízott". Magassága és alapjai nem változtak, alkotója viszont \(\displaystyle 1~{\rm mm}\)-rel megnyúlt, és így két egybevágó csonkakúppá formálódott. Hány százalékkal nőtt a henger térfogata?

(5 pont)

---

C. 554. Mutassuk meg, hogy van olyan \(\displaystyle a\) szám, hogy \(\displaystyle \log _2 x+\log _3 x=\log _a x\) teljesül minden pozitív \(\displaystyle x\)-re.

(5 pont)

B-jelű feladatok A beküldési határidő 1999. november 15-én LEJÁRT.

---

B. 3302. Egy jegypénztárnál nyolcan állnak sorba. Négyüknél egy-egy \(\displaystyle 100~{\rm Ft}\)-os, a másik négynél egy-egy \(\displaystyle 200~{\rm Ft}\)-os van, sorrendjük véletlenszerű. A jegy ára \(\displaystyle 100~{\rm Ft}\), a kassza kezdetben üres. Mindenki egy jegyet szeretne vásárolni. A lehetséges sorrendek hányadrésze olyan, hogy a pénztáros fennakadás nélkül ki tudja adni a jegyeket?

(5 pont)

---

B. 3303. Egy \(\displaystyle 5~{\rm cm}\) széles papírcsíkot gyűrődés nélkül áthajtunk az ábra szerint.

Milyen kicsi lehet a kétszer lefedett, satírozott rész területe?

(5 pont)

---

B. 3304. Meg lehet-e számozni egy kocka éleit az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), ..., \(\displaystyle 11\), \(\displaystyle 12\) számokkal úgy, hogy mindegyik csúcsban ugyanannyi legyen az ide befutó élekre írt számok összege?

(5 pont)

---

B. 3305. Sándor Mátyás esetéből okulva a hazafiak vezére egy egyenletet küldött barátainak:

\(\displaystyle 2x^2+4xy+7y^2-12x-2y+N=0. \)

A titkos üzenet az volt, hogy a hónap \(\displaystyle N\)-edik napján legyen a felkelés. A hazafiak gyakran mondogatták, hogy a felkelés az egyetlen megoldás. Ez jellemzte \(\displaystyle N\)-et is: az egyenletet egyetlen \(\displaystyle (x,\;y)\) valós számpár elégítette ki. Mennyi \(\displaystyle N\) értéke?

(5 pont)

---

B. 3306. Az egységnyi területű \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) oldalán a harmadolópontok legyenek \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\), az \(\displaystyle AC\) oldalán a felezőpont pedig \(\displaystyle F\). A \(\displaystyle CB\) egyenesét az \(\displaystyle FE\) egyenes \(\displaystyle G\)-ben, az \(\displaystyle FD\) egyenes \(\displaystyle H\)-ban metszi. Határozzuk meg az \(\displaystyle FGH\) háromszög területét.

(5 pont)

---

B. 3307. Határozzuk meg az ábrán látható négyzetben az \(\displaystyle MAN\), \(\displaystyle MBN\), \(\displaystyle MCN\), \(\displaystyle MDN\), \(\displaystyle MEN\) szögek összegét, ha tudjuk, hogy \(\displaystyle {PA=AB=BC=CD=DE=MN}\).

(5 pont)

---

B. 3308. Hány olyan iker­prím számpár van, amelyek összege prímhatvány? (Iker­prímnek nevezünk két prímszámot, ha a különbségük \(\displaystyle 2\).)

(5 pont)

---

B. 3309. Egy kocka minden lapján kijelöltük a középvonalak \(\displaystyle 1:3\) arányú osztópontjait. Hogyan aránylik a pontok által meghatározott konvex test térfogata a kocka térfogatához?

(5 pont)

---

B. 3310. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle (x^2+y^2)^3=27x^2y^2\) egyenletű görbe belefoglalható egy \(\displaystyle 4\) egység oldalú négyzetbe.

(5 pont)

---

B. 3311. Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle 0<x<{\pi \over 2}\), akkor \(\displaystyle \bigg({{\sin x}\over x}\bigg)^3>\cos x.\)

(5 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő 1999. november 15-én LEJÁRT.

---

A. 218. Határozzuk meg azokat a folytonos \(\displaystyle f:(0,\;\infty)\rightarrow(0,\;\infty)\) függvényeket, amelyekre tetszőleges \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) pozitív számok esetén

\(\displaystyle f\bigg({1\over f(xy)}\bigg)=f(x)f(y). \)

(5 pont)

---

A. 219. A \(\displaystyle H\) ponthalmaz a sík \(\displaystyle 2n\) pontját tartalmazza, közülük semelyik három nem esik egy egyenesre. Ha \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) két különböző \(\displaystyle H\)-beli pont, és \(\displaystyle H\)-nak pontosan ugyanannyi pontja esik a \(\displaystyle PQ\) egyenes két oldalára, akkor a \(\displaystyle PQ\) szakaszt felező szakasznak hívjuk. Bizonyítsuk be, hogy ha a felező szakaszok száma \(\displaystyle n\), akkor közülük bármelyik kettő metszi egymást.

(5 pont)

---

A. 220. Jelöljük tetszőleges pozitív egész \(\displaystyle n\) számra \(\displaystyle S(n)\)-nel az \(\displaystyle n\) jegyeinek összegét tízes számrendszerben. Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} S(2^n)=\infty. \)

(5 pont)