A KöMaL 1999. novemberi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 1999. december 15-én LEJÁRT.

---

C. 555. Melyik az a legkisebb egész szám, amelyik kétféleképpen is felírható két különböző pozitív négyzetszám összegeként?

(5 pont)

---

C. 556. Egy öt fordulóból álló futóverseny sorozaton \(\displaystyle 50\) induló vett részt. Bandi minden egyes fordulóban a \(\displaystyle 10\). helyen végzett. A verseny végeredményét az egyes fordulóban elért időeredmények összeadásával határozzák meg. Előfordulhatott-e, hogy az összetett versenyben Bandi

a) az első  b) az utolsó helyen végzett?

(5 pont)

---

C. 557. Igazoljuk, hogy nem létezik olyan egymást követő, pozitív páratlan számokból álló, legalább két elemű számsorozat, amelynek összege prímszám.

(5 pont)

---

C. 558. Hány különböző rácsnégyzet jelölhető ki az \(\displaystyle n\times n\)-es négyzetrácson úgy, hogy oldalai párhuzamosak legyenek a négyzetrács oldalaival?

(5 pont)

---

C. 559. Egy kúpba (csúcsával lefelé tartva) vizet töltünk, így a víz \(\displaystyle 10~{\rm cm}\) magasan áll benne. Nyílását lezárva alaplapjára állítjuk a kúpot, így most \(\displaystyle 2~{\rm cm}\) magasan áll benne a víz. Milyen magas a kúp?

(5 pont)

B-jelű feladatok A beküldési határidő 1999. december 15-én LEJÁRT.

---

B. 3312. Szilveszter észrevette, hogy ha születési évének számjegyeit összeadja, azt a számot kapja, amely nagyapja születési évszámának utolsó két jegyéből áll. Szilveszter születési évszámának utolsó két jegyét összeolvasva pedig nagyapja jelenlegi életkorát kapjuk. Hány éves Szilveszter?

(5 pont)

---

B. 3313. Az \(\displaystyle ABCD\) rombuszt a \(\displaystyle BD\) átlója két szabályos háromszögre vágja. Az \(\displaystyle AD\) szakaszon adott egy \(\displaystyle P\), a \(\displaystyle CD\) szakaszon pedig egy \(\displaystyle Q\) pont úgy, hogy a \(\displaystyle {PBQ\sphericalangle=60^\circ}\). Mekkora a \(\displaystyle PBQ\) háromszög másik két szöge?

(5 pont)

---

B. 3314. Meg lehet-e számozni egy szabályos oktaéder éleit az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), ..., \(\displaystyle 12\) számokkal úgy, hogy mindegyik csúcsban ugyanannyi legyen az oda befutó élekre írt számok összege?

(5 pont)

---

B. 3315. Adjuk meg azt az \(\displaystyle f(x)=ax\) alakú függvényt, amely a \(\displaystyle g(x)=x^2\) függvényt ,,jól'' közelíti az \(\displaystyle x=0{,}1\); \(\displaystyle 0{,}2\); ...; \(\displaystyle 0{,}5\) helyeken abban az értelemben, hogy az ezeken a helyeken számított \(\displaystyle |f(x)-g(x)|\) hibák közül a legnagyobbik a lehető legkisebb.

(5 pont)

---

B. 3316. Legyen \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög egy belső pontja. Az \(\displaystyle AP\) és a \(\displaystyle BP\) egyenesek messék a háromszög szemközti oldalát a \(\displaystyle D\), illetve az \(\displaystyle E\) pontban. Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle AP=BP\) és \(\displaystyle BE=CE\), akkor \(\displaystyle {1\over AP}={1\over AD}+{1\over AC}\).

(5 pont)

---

B. 3317. Oldjuk meg a következő egyenletet:

\(\displaystyle \sqrt{x+1999\sqrt{x+1999\sqrt{x+1999\sqrt{x+1999\sqrt{2000x}}}}}=x. \)

(5 pont)

---

B. 3318. Az egységnyi sugarú \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) körök a \(\displaystyle P\) pontban érintik egymást. A két kör egyik, a \(\displaystyle P\)-n át nem menő közös érintője az \(\displaystyle e\) egyenes. Legyen \(\displaystyle i>2\) esetén \(\displaystyle k_i\) az a \(\displaystyle k_{i-2}\)-től különböző kör, amely érinti \(\displaystyle k_1\)-et, \(\displaystyle k_{i-1}\)-et és \(\displaystyle e\)-t. Határozzuk meg \(\displaystyle k_{1999}\) sugarát.

(5 pont)

---

B. 3319. Ismert, hogy egy adott körbe írható négy csúcsú síkidomok közül a négyzet területe a legnagyobb. Igaz-e, hogy egy adott gömbbe írható nyolc csúcsú testek közül a beírható kocka térfogata a legnagyobb?

(5 pont)

---

B. 3320. Oldjuk meg a következő egyenletet:

\(\displaystyle x^{x^{{1\over2}}}={1\over2}. \)

(5 pont)

---

B. 3321. Legyen \(\displaystyle K\) egy konvex sokszög. Mutassuk meg, hogy elhelyezhető a síkon 6 darab \(\displaystyle K\)-val egybevágó sokszög úgy, hogy ezek mindegyikének van a \(\displaystyle K\)-val közös határpontja, de a hét sokszög közül semelyik kettőnek nincs közös belső pontja.

(5 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő 1999. december 15-én LEJÁRT.

---

A. 221. Legyenek az \(\displaystyle N\) négyzet csúcsai a \(\displaystyle (\pm1999;\,\pm1999)\) koordinátájú pontok, a \(\displaystyle H\) háromszög csúcsai pedig \(\displaystyle (-1;\,0)\), \(\displaystyle (0;\,-1)\) és \(\displaystyle (1;\,1)\). A \(\displaystyle H\) háromszögnek legfeljebb hány egymásba nem nyúló, eltolt példányát lehet elhelyezni az \(\displaystyle N\) négyzetben?

(5 pont)

---

A. 222. Az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) egész számok legnagyobb közös osztója \(\displaystyle 1\). Az \(\displaystyle (a,\;b,\;c)\) számhármast más számhármasokra cserélhetjük úgy, hogy minden lépésben az egyik számot növeljük vagy csökkentjük a számhármas egy másik elemének valamilyen többszörösével. Igaz-e, hogy az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számok megválasztásától függetlenül, legfeljebb \(\displaystyle 10\) lépésben eljuthatunk az \(\displaystyle (1,\;0,\;0)\) számhármashoz?

(5 pont)

---

A. 223. Keressük meg az összes olyan \(\displaystyle f:R\rightarrow R\) függvényt, amelyre

\(\displaystyle f(x-f(y))=f\left(x+y^{1999}\right)+f\left(f(y)+y^{1999}\right)+1 \)

teljesül tetszőleges \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számok esetén.

(5 pont)