A KöMaL 1999. decemberi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. január 15-én LEJÁRT.

---

C. 560. Egy cipó \(\displaystyle 25\)%-kal kisebb tömegű, mint egy fehér kenyér, ráadásul \(\displaystyle 20\)%-kal drágább. Igaz viszont, hogy a cipó az utolsó morzsáig elfogy, míg a kenyér \(\displaystyle 15\)%-a mindig ránkszárad. Ugyanakkora fogyasztást feltételezve hány százalékkal költünk többet, ha cipót veszünk, mint ha kenyeret?

(5 pont)

---

C. 561. Keressük meg azokat a \(\displaystyle p\) prímeket, amelyekre a \(\displaystyle p^2+11\) számnak pontosan \(\displaystyle 6\) pozitív osztója van.

(5 pont)

---

C. 562. Keressük meg azt a pozitív egész \(\displaystyle n\) számot, amelyre

\(\displaystyle {1\over{1+\sqrt 2}}+{1\over{\sqrt2+\sqrt 3}}+{\dots}+{1\over{\sqrt n+\sqrt{n+1}}}=100. \)

(5 pont)

---

C. 563. Egy \(\displaystyle O\) középpontú, \(\displaystyle r\) sugarú körben az átmérőnél kisebb húr legyen \(\displaystyle AB\), az \(\displaystyle AO\) és \(\displaystyle BO\) sugarak által meghatározott kisebb körcikkbe beírt kör sugara pedig \(\displaystyle \varrho\). Adjuk meg \(\displaystyle AB\)-t \(\displaystyle r\) és \(\displaystyle \varrho\) segítségével.

(5 pont)

---

C. 564. Egy téglatest oldalélei \(\displaystyle 26\), \(\displaystyle 20\) és \(\displaystyle 8\) egység hosszúak. A \(\displaystyle 26\times8\)-as lapok fölé építsünk olyan egyenes sátortetőket, amelyek ,,ferde'' éleinek hossza \(\displaystyle 13,\) ,,vízszintes'' éle pedig \(\displaystyle 20\) egység. Mekkora a téglatest azon részének térfogata, amelyet úgy kapunk, hogy eltávolítjuk a téglából a sátortetőknek a téglatesthez illeszkedő lapjukra vonatkozó tükörképeit?

(5 pont)

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. január 15-én LEJÁRT.

---

B. 3322. Legfeljebb hány részre osztja a teret \(\displaystyle 4\) olyan sík, amely egy ponton halad át?

(5 pont)

---

B. 3323. Keressük meg azt a legbővebb intervallumot, amelyben \(\displaystyle {19\over99}\) a legkisebb nevezőjű tört.

(5 pont)

---

B. 3324. Hányféleképpen írható fel \(\displaystyle 1999^{1999}\) egymás után következő természetes számok összegeként?

(5 pont)

---

B. 3325. A \(\displaystyle p_1\), \(\displaystyle p_2\), \(\displaystyle p_3\), \(\displaystyle p_4\) prímszámokat négyes­ikreknek nevezzük akkor, ha \(\displaystyle p_1<p_2<p_3<p_4\), és \(\displaystyle p_4-p_1=8\). Bizonyítsuk be, hogy ha a \(\displaystyle p_1\), \(\displaystyle p_2\), \(\displaystyle p_3\), \(\displaystyle p_4\) és a \(\displaystyle q_1\), \(\displaystyle q_2\), \(\displaystyle q_3\), \(\displaystyle q_4\) prímszámok is négyes­ikrek, továbbá \(\displaystyle p_1\) és \(\displaystyle q_1\) nagyobbak \(\displaystyle 5\)-nél, akkor \(\displaystyle p_1-q_1\) osztható \(\displaystyle 30\)-cal, de nem lehet \(\displaystyle 60\).

(5 pont)

---

B. 3326. Egy szabályos oktaéder egyik lapját merőlegesen vetítjük a szemközti lap síkjára. A szemközti lap területének hányadrészét fedi le a vetület?

(5 pont)

---

B. 3327. Adjunk meg egy egész együtthatós polinomot, amelynek a \(\displaystyle \cos 18^{\circ}\) zérushelye!

(5 pont)

---

B. 3328. Egy konvex sokszög minden oldalegyenesét az oldalra merőleges irányban kifelé eltoltuk \(\displaystyle 5~{\rm cm}\)-rel. Mutassuk meg, hogy az így kapott sokszög kerülete több, mint \(\displaystyle 30~{\rm cm}\)-rel nagyobb az eredeti sokszög kerületénél.

(5 pont)

---

B. 3329. Egy \(\displaystyle 31\) fős osztályban a szokásos módon akarják egymást karácsonykor megajándékozni a gyerekek: december elején az egyik osztályfőnöki órán egy kalapba beleteszik a \(\displaystyle 31\) nevet, és sorban mindenki kihúzza annak a nevét, akinek ajándékot készít. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a húzást meg kell ismételni, mert valaki a saját nevét húzta?

(5 pont)

---

B. 3330. Egy \(\displaystyle 105\) egység oldalú négyzet belsejében \(\displaystyle 1999\) egységnégyzetet helyeztünk el. Mutassuk meg, hogy elhelyezhető még egy egységnégyzet úgy, hogy ne legyen a többivel közös pontja.

(5 pont)

---

B. 3331. A \(\displaystyle 12\).b osztályba ugyanannyi fiú jár, mint lány, így a szalagavatón mindenkinek lesz az osztályból táncpartnere. A párok összeállításához minden fiú rangsorolja az összes lányt, és fordítva. Mutassuk meg, hogy párba állíthatók úgy, hogy ne legyen olyan fiú és lány, akik mindketten szívesebben táncoltak volna egymással, mint a nekik jutó partnerrel.

(5 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. január 15-én LEJÁRT.

---

A. 224. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges pozitív \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), ..., \(\displaystyle a_n\) számokra

\(\displaystyle \left(1+{a_1^2\over a_2}\right)\cdot \left(1+{a_2^2\over a_3}\right)\cdot \left(1+{a_n^2\over a_1}\right)\geq (1+a_1)(1+a_2){\dots}(1+a_n). \)

(5 pont)

---

A. 225. Jelölje \(\displaystyle S_1\) és \(\displaystyle S_2\) az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle \dots\), \(\displaystyle n\) számok páratlan, illetve páros osztói számának összegét. Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle \left|S_1-S_2-n\cdot\ln2\right|<\sqrt{n}+1. \)

(5 pont)

---

A. 226. Adott egy gráf, amelynek csúcsai a pozitív egész számok és nem tartalmaz \(\displaystyle k\times k\)-as teljes páros részgráfot. (\(\displaystyle k\) egy rögzített pozitív egész.) Igazoljuk, hogy létezik tetszőlegesen hosszú számtani sorozat, amelynek semelyik két eleme között nincs él.

(5 pont)