A KöMaL 2000. januári matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. február 15-én LEJÁRT.

---

C. 565. Egy tálba egymás után felütünk tíz darab tojást. A tojások közül kettő romlott, de ez csak a feltöréskor derül ki. A záptojások az összes előttük feltört tojást használhatatlanná teszik. A tálat ilyenkor kimossuk és a megmaradt tojásokkal folytatjuk az eljárást. A jó tojásoknak átlagosan hányadrésze megy ilymódon veszendőbe?

(5 pont)

---

C. 566. Oldjuk meg a következő egyenletet:

\(\displaystyle (x-2)^2+\left(|x-1|+|x-3|-{{15}\over4}\right)^2={{65}\over{16}}. \)

(5 pont)

---

C. 567. Egy téglatest minden élének mérőszáma egész. A téglatest térfogatának, fél felszínének és az egyik csúcsba befutó élek hosszának mérőszámait összeadva \(\displaystyle 2000\)-et kapunk. Mekkorák a téglatest élei?

(5 pont)

---

C. 568. Az ötös lottó sorsolásnak hány olyan különböző kimenetele lehetséges, amelynél a nyerő számok a) számtani b) mértani sorozatot alkotnak?

(5 pont)

---

C. 569. Az \(\displaystyle y=x^2\) parabolához az \(\displaystyle y=x\) egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő?

(5 pont)

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. február 15-én LEJÁRT.

---

B. 3332. Az első \(\displaystyle n\) pozitív egész számot egy kör kerületén úgy szeretnénk elhelyezni, hogy bármely két szomszédos szám összege osztható legyen az óramutató járása szerint közvetlenül utánuk álló számmal. Milyen \(\displaystyle n\)-re lehetséges ez?

(5 pont)

---

B. 3333. Egy ikozaéder néhány lapját pirosra festjük úgy, hogy két befestett lapnak nincs közös éle. Maximálisan hány lap festhető be ezzel a feltétellel?

(5 pont)

---

B. 3334. Bizonyítsuk be, hogy egyetlen olyan számrendszer van, amelyben van olyan háromjegyű szám, amelyik kétszer akkora, mint az ugyanezekkel a számjegyekkel ugyanolyan sorrendben felírt tízes számrendszerbeli szám.

(5 pont)

---

B. 3335. A \(\displaystyle {\cal K}\) és \(\displaystyle {\cal L}\) sokszögek úgy helyezkednek el a síkon, hogy csúcsaik nincsenek rajta a másik sokszög oldalegyenesein. Legfeljebb hány pontban metszik egymást az oldalak, ha \(\displaystyle {\cal K}\) ötszög és

a) \(\displaystyle {\cal L}\) háromszög;

b) \(\displaystyle {\cal L}\) négyszög?

(5 pont)

---

B. 3336. Egy szabályos háromszöget a középpontja körül pozitív irányba elforgatunk először \(\displaystyle 3^{\circ}\)-kal, azután tovább forgatjuk \(\displaystyle 9^{\circ}\)-kal, majd \(\displaystyle 27^{\circ}\)-kal, a \(\displaystyle k\)-adik lépésben \(\displaystyle 3^k\) fokkal. Hányféle helyzetet vehet fel a háromszög az elforgatások eredményeképpen?

(5 pont)

---

B. 3337. Adott egy parabola fókusza és két pontja. Szerkesszük

meg a vezéregyenesét.

(5 pont)

---

B. 3338. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

\(\displaystyle \eqalign{ x_1+x_2+{\dots}+x_n&=n\cr x_1^4+x_2^4+{\dots}+x_n^4&=x_1^3+x_2^3+{\dots}+x_n^3.\cr }\)

(5 pont)

---

B. 3339. Bizonyítsuk be, hogy egy gömbháromszög súlyvonalai egy pontban metszik egy­mást. (Egy gömb felszínén lévő \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok gömbi összekötő egyenesének az \(\displaystyle A\)-t és \(\displaystyle B\)-t tartalmazó nem hosszabb főkörívet nevezzük.)

(5 pont)

---

B. 3340. Egy szabályos dobókockát \(\displaystyle 12\)-szer feldobva melyik esemény valószínűsége nagyobb?

a) Az első \(\displaystyle 6\) dobás között lesz legalább egy \(\displaystyle 6\)-os.

b) A \(\displaystyle 12\) dobás között lesz legalább két \(\displaystyle 6\)-os.

(5 pont)

---

B. 3341. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\)-ból induló magasságának talppontja \(\displaystyle D\). Legyenek \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) egy, a \(\displaystyle D\) ponton átmenő egyenesnek olyan – \(\displaystyle D\)-től különböző – pontjai, amelyekre \(\displaystyle AE\) merőleges \(\displaystyle BE\)-re, \(\displaystyle AF\) merőleges \(\displaystyle CF\)-re. A \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle EF\) szakaszok felezőpontja \(\displaystyle M\), illetve \(\displaystyle N\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle AN\) és \(\displaystyle MN\) merőlegesek.

(5 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. február 15-én LEJÁRT.

---

A. 227. Létezik-e olyan pozitív egész \(\displaystyle n\), hogy tetszőleges nem \(\displaystyle 0\) \(\displaystyle i\) számjegy esetén az \(\displaystyle n\), \(\displaystyle 2n\), \(\displaystyle 3n\), ..., \(\displaystyle 2000n\) számok mindegyikének tízes számrendszerbeli alakjában ugyanannyiszor fordul elő az \(\displaystyle i\)?

(5 pont)

---

A. 228. Igaz-e, hogy ha az \(\displaystyle f\), \(\displaystyle g:\,Q\rightarrow Q\) függvények szigorúan monoton nőnek és érték­készletük a teljes \(\displaystyle Q\), akkor az \(\displaystyle f+g\) függvény értékkészlete is a teljes \(\displaystyle Q\)? (\(\displaystyle Q\) a racionális számok halmaza.)

(5 pont)

---

A. 229. Két ötszög úgy helyezkedik el a síkon, hogy csúcsaik nincsenek rajta a másik ötszög oldalegyenesein. Legfeljebb hány pontban metszhetik egymást az oldalak?

(5 pont)