A KöMaL 2000. februári matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. március 15-én LEJÁRT.

---

C. 570. Határozzuk meg azokat a háromjegyű prímszámokat, amelyekben a számjegyek szorzata \(\displaystyle 189\).

(5 pont)

---

C. 571. Egy kertben álló négyzet alapú kutyaház oldala \(\displaystyle 1,2~{\rm m}\) hosszú. Az egyik sarkától \(\displaystyle 30~{\rm cm}\)-re, a bejáratával azonos oldalon a kutyaház külső falához kötötték ki a kutyát egy \(\displaystyle 3\) méteres lánccal. Mekkora területen mozoghat a kutya?

(5 pont)

---

C. 572. A \(\displaystyle 6~{\rm cm}\) sugarú körbe írt szabályos hatszög és beírt négyzet egy-egy oldala párhuzamos. Számítsuk ki a kör azon részének területét, amely a hatszög és a négyzet párhuzamos oldala között van és nem tartalmazza a kör középpontját.

(5 pont)

---

C. 573. Határozzuk meg mindazokat az \(\displaystyle n\) pozitív egész számokat, amelyekre

\(\displaystyle {1^2+2^2+{\dots}+n^2=1+2+{\dots}+(2n-1)+2n}. \)

(5 pont)

---

C. 574. Milyen összefüggésnek kell fennállnia egy téglatest élei között ahhoz, hogy kettévágható legyen két egybevágó, az eredetihez hasonló téglatestre?

(5 pont)

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. március 15-én LEJÁRT.

---

B. 3342. Határozzuk meg azokat a pozitív egész számokat, amelyekre \(\displaystyle {n^2\!-19n-99}\) négyzetszám.

Amerikai feladat

(5 pont)

---

B. 3343. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) oldalának felezőpontja \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle AFC\) háromszög súlypontja \(\displaystyle S_1\), a \(\displaystyle BFC\) háromszög súlypontja \(\displaystyle S_2\). Az \(\displaystyle AS_1\) egyenes a \(\displaystyle BC\) oldalt a \(\displaystyle P_1\) pontban, a \(\displaystyle BS_2\) egyenes az \(\displaystyle AC\) oldalt a \(\displaystyle P_2\) pontban metszi. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle S_1S_2P_1P_2\) négyszög paralelogramma.

(5 pont)

---

B. 3344. Tekintsük azokat a természetes számokat, amelyek osztóinak számát megkapjuk úgy, hogy a prímtényezős felbontásukban szereplő prímszámok szorzatából kivonjuk a hatványkitevők szorzatát. Ilyen például a \(\displaystyle 25\) és a \(\displaystyle 600\) is. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok ilyen szám van.

(5 pont)

---

B. 3345. Egy egyfordulós, körmérkőzéses focibajnokságon \(\displaystyle 9\) csapat indult. Az Alsórákosi STC csapata \(\displaystyle 5\) győzelmet aratott és \(\displaystyle 3\) vereséget szenvedett. Lehetséges-e, hogy ezek után a csapat csak \(\displaystyle 7\). lett? (A győzelemért \(\displaystyle 3\), a döntetlenért \(\displaystyle 1\)-\(\displaystyle 1\) pont jár, azonos pontszám esetén a sorrendet a gólkülönbség dönti el.)

(5 pont)

---

B. 3346. Száz darab súlyt, melyek egyenként rendre \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle {\dots}\), \(\displaystyle 100\) gramm tömegűek, úgy helyeztünk el egy kétkarú mérleg két serpenyőjébe, hogy a mérleg egyensúlyban van. Bizonyítsuk be, hogy a serpenyőkből elvehetünk két-két súlyt úgy, hogy a mérleg továbbra is egyensúlyban maradjon.

(5 pont)

---

B. 3347. Tekintsünk egy négyszöget   (a) a csúcsaiból álló pontnégyesnek;

(b) homogén lemeznek. Milyen négyszögek esetén esik egybe a kétféle alakzat súlypontja?

(5 pont)

---

B. 3348. Határozzuk meg az \(\displaystyle {{a+1}\over b}=c\cdot{{a}\over{b+1}}\) egyenlet egész megoldásait.

(5 pont)

---

B. 3349. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle p^p=q^q\) egyenletnek végtelen sok olyan pozitív

racionális megoldása létezik, ahol \(\displaystyle p \ne q\).

(5 pont)

---

B. 3350. Adott egy téglatest és a belsejében egy \(\displaystyle P\) pont. Tükrözzük \(\displaystyle P\)-t a téglatest minden lapjára. A hat tükörkép által meghatározott konvex test térfogata a \(\displaystyle P\) pont mely helyzetében lesz a legnagyobb?

(5 pont)

---

B. 3351. Adott a térben legalább négy körvonal úgy, hogy középpontjaik közül semelyik \(\displaystyle 4\) nincs egy síkban. Igaz-e, hogy ha bármely két körvonalhoz létezik őket tartalmazó gömbfelület, akkor létezik olyan gömbfelület is, amelyik mindegyik körvonalat tartalmazza?

(5 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. március 15-én LEJÁRT.

---

A. 230. Határozzuk meg azokat az \(\displaystyle a\) egész számokat, amelyekre

\(\displaystyle {a^{2000}-1\over a-1} \)

négyzetszám.

(5 pont)

---

A. 231. Bizonyítsuk be, hogy ha egy összefüggő egyszerű gráfban minden csúcs foka legalább \(\displaystyle 3\), akkor tartalmaz olyan kört, amelynek éleit elhagyva a gráf összefüggő marad.

(5 pont)

---

A. 232. Mutassunk példát olyan konvex poliéderre, amelynek legalább

\(\displaystyle 2000\) csúcsa van, nincs \(\displaystyle {1\over2}\)-nél rövidebb éle, ugyanakkor

belefér egy egységnyi sugarú gömbbe.

(5 pont)