A KöMaL 2000. márciusi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. április 15-én LEJÁRT.

---

C. 575. "Nos, hát mondja meg nekem, hogy ha Pozsonyból Brassóba mindennap két postakocsi közlekednék, Brassóból Pozsonyba pedig ugyanannyi, ha mármost föltesszük, hogy az út tíz napig tart, mennyi kocsival találkozik ön útközben, míg Pozsonyból egy postakocsin ülve Brassóba ér?"

(Vigyázat! "Áprilisi" feladat!)

(5 pont)

---

C. 576. Adjuk meg azt a legkisebb pozitív egész számot, amellyel az \(\displaystyle 1999\)-et megszorozva a kapott szám utolsó \(\displaystyle 4\) jegye \(\displaystyle 2001\).

(5 pont)

---

C. 577. Egy fiók mélyén három pár zokni van, amelyek kissé különböznek egymástól. A fiókból egyesével kihalászva a zoknikat, mennyi annak a valószínűsége, hogy három húzás után még nem lesz a kivett zoknik között összetartozó pár?

(5 pont)

---

C. 578. Egy háromszög csúcsainak koordinátái: \(\displaystyle A(2;-1)\), \(\displaystyle B(3;1)\), \(\displaystyle C(2^{1999};2^{2000})\). Számítsuk ki az \(\displaystyle ABC\) háromszög területét.

(5 pont)

---

C. 579. Egy körlapot két sugara mentén két darabra vágunk. A kapott körcikkekből kúp alakú tölcséreket formálunk. Akkor lesz-e legnagyobb a tölcsérek össztérfogata, ha félkörökből indulunk ki?

(5 pont)

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. április 15-én LEJÁRT.

---

B. 3352. Ha egy hajó legénységének létszámát megszorozzuk a legénység létszámánál eggyel kisebb számmal, akkor tizenöttel nagyobb számot kapunk, mint ha a kapitány életkorát megszoroznánk a legénység létszámánál kettővel kisebb számmal. Hogy hívják a kapitányt? (Vigyázat! ,,Áprilisi'' feladat!)

(5 pont)

---

B. 3353. Mennyi

\(\displaystyle \left[2\sqrt{1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+{\dots}+1998\cdot1999\cdot2000} \right] \)

értéke? (Az egész rész jele \(\displaystyle [~~]\).)

(5 pont)

---

B. 3354. Adott a síkon két metsző egyenes és egy rajtuk kívül elhelyezkedő \(\displaystyle P\) pont. Szerkesszük meg a két egyenesen azt az \(\displaystyle X\), illetve \(\displaystyle Y\) pontot, amelyre az \(\displaystyle XY\) szakasz átmegy \(\displaystyle P\)-n és \(\displaystyle PX\cdot PY\) minimális.

(5 pont)

---

B. 3355. Bizonyítsuk be, hogy egy háromszög pontosan akkor derékszögű, ha valamelyik két hozzáírt kör sugarának szorzata egyenlő a háromszög területével.

(5 pont)

---

B. 3356. Mutassuk meg, hogy két szomszédos egész szám negyedik hatványának különbsége végtelen sok esetben bontható fel két négyzetszám összegére.

(5 pont)

---

B. 3357. Van-e olyan négyzetszám, amelynek ugyanannyi \(\displaystyle 3k+1\) alakú pozitív osztója van, mint \(\displaystyle 3k+2\) alakú?

(5 pont)

---

B. 3358. Bizonyítsuk be, hogy négy különböző valós szám között van olyan kettő: \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), amelyekre

\(\displaystyle {{1+ab}\over{\sqrt{1+a^2}\cdot\sqrt{1+b^2}}}>{1\over2}. \)

(5 pont)

---

B. 3359. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle x^3-3x-1=0\) egyenlet valós \(\displaystyle x_1\), \(\displaystyle x_2\), \(\displaystyle x_3\) gyökeire \(\displaystyle x_1<x_2<x_3\), akkor \(\displaystyle x_3^2-x_2^2=x_3-x_1\).

(5 pont)

---

B. 3360. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög súlypontja \(\displaystyle S\), az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) oldalak felezőpontja \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\). Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle AESF\) négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha \(\displaystyle AB^2+AC^2=2BC^2\).

(5 pont)

---

B. 3361. Adottak a \(\displaystyle {\cal G}_1\)és a \(\displaystyle {\cal G}_2\) gömbök. Legyen \(\displaystyle K_1\) a \(\displaystyle {\cal G}_1\) gömbbe, \(\displaystyle K_2\) a \(\displaystyle {\cal G}_2\) gömbbe írt kocka. Mutassuk meg, hogy annak a \(\displaystyle 64\) vektornak az összege, amelynek kezdőpontja a \(\displaystyle K_1\) egyik csúcsa, végpontja pedig a \(\displaystyle K_2\) egyik csúcsa, nem függ a kockák helyzetétől.

(5 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. április 15-én LEJÁRT.

---

A. 233. Definiáljuk az \(\displaystyle (a_n)\) sorozatot a következőképpen: \(\displaystyle a_0=a_1=1\), \(\displaystyle (n+3)a_{n+1}=(2n+3)a_n+3na_{n-1}\). Mutassuk meg, hogy a sorozat egész számokból áll.

(5 pont)

---

A. 234. Az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), és \(\displaystyle C\) betűk felhasználásával szavakat (véges hosszúságú betűsorozatokat) készítünk. Egy szóval a következő műveleteket végezhetjük:

a) A szóban kiválasztunk néhány egymás utáni betűt — esetleg csak egyetlen egyet, vagy akár a teljes szót —, és ,,megduplázzuk'', például \(\displaystyle B\underline{BCA}C \rightarrow BBCABCAC\);

b) Az a) lépés visszafelé: Ha valahol a szóban két egymás utáni részlet megegyezik, akkor az egyiket elhagyjuk: \(\displaystyle \underline{ABCABC}BC\rightarrow ABCBC\).

Igazoljuk, hogy ilyen lépések sorozatával bármelyik szóból eljuthatunk egy legfeljebb \(\displaystyle 8\)-betűs szóhoz.

(5 pont)

---

A. 235. Legyen \(\displaystyle a\) adott komplex szám. Mi a mértani helye azon \(\displaystyle b\) komplex számoknak, amelyekhez léteznek olyan nemnegatív \(\displaystyle x_1\), \(\displaystyle x_2\), \(\displaystyle {\dots}\), \(\displaystyle x_n\) valós számok és egységnyi abszolút értékű \(\displaystyle z_1\), \(\displaystyle z_2\), \(\displaystyle {\dots}\), \(\displaystyle z_n\) komplex számok, hogy \(\displaystyle x_1+x_2+\dots +x_n=1\), \(\displaystyle x_1z_1+x_2z_2+\dots +x_nz_n=a\) és \(\displaystyle x_1z_1^2+x_2z_2^2+\dots +x_nz_n^2=b\)?

(5 pont)