A KöMaL 2000. áprilisi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. május 15-én LEJÁRT.

---

C. 580. Kati dolgozatot írt matematikából, majd még egy javító dolgozatot is írt. A tanár a két jegy helyett azok átlagát írta be az osztályozó füzetébe. Bizonyítsuk be, hogy Kati akkor jár jobban ezzel, ha a többi matematika jegyeinek átlaga nagyobb a két dolgozatjegy átlagánál.

(5 pont)

---

C. 581. Négy jármű egyszerre indul el \(\displaystyle A\)-ból, és egymást követően egyenlő időközönként érkezik meg \(\displaystyle B\)-be. A leggyorsabb és a leglassúbb jármű sebessége \(\displaystyle v_1\), ill. \(\displaystyle v_4\). Mekkora a másik két jármű sebessége?

(5 pont)

---

C. 582. Az ábrán látható sáv szélessége \(\displaystyle 1~{\rm m}\). Mekkora a területe?

(5 pont)

---

C. 583. Egy gúla alapja egység oldalú négyzet. Egyik oldaléle szintén egységnyi hosszú és egybeesik a gúla magasságával. Mekkora a legnagyobb lapszöge?

(5 pont)

---

C. 584. Egy körnek a területét vagy a kerületét tudjuk jobban (kisebb relatív hibával) közelíteni a körbe írt szabályos \(\displaystyle n\)-szög segítségével?

(5 pont)

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. május 15-én LEJÁRT.

---

B. 3362. Tizennyolc gyerek megoldotta a KöMaL áprilisi számának egy-egy feladatát. A megoldásokat elektronikus levelezéssel (e-mailen keresztül) akarják megbeszélni. Legalább hány e-mailt kell küldeniük egymásnak, hogy mindegyikük megtudja mindegyik megoldást? (Minden e-mail annyiszor számít, ahány embernek küldik.)

(5 pont)

---

B. 3363. Van-e olyan háromszög, amit két vágással három egybevágó részre lehet darabolni?

(5 pont)

---

B. 3364. Tegyük fel, hogy 15 különböző (pozitív) prímszám számtani sorozatot alkot. Igazoljuk, hogy a sorozat két szomszédos tagjának a különbsége 30000-nél nagyobb.

(5 pont)

---

B. 3365. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle abc=1\) és \(\displaystyle a+b+c={1\over a}+{1\over b}+{1\over c}\), akkor az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számok közül legalább az egyik \(\displaystyle 1\)-gyel egyenlő.

(5 pont)

---

B. 3366. Ismét útnak indul az F. 3279. feladat szöcskéje. Most egy \(\displaystyle r\) sugarú kör és egy, a kör középpontján át nem menő egyenes pontjai között ugrál, a körről az egyenesre, onnan pedig vissza a körre. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle r\) hosszúságú ugrásokkal legfeljebb \(\displaystyle 8\) pontba juthat el.

(5 pont)

---

B. 3367. Egy egyenlő szárú háromszög alakú papírlapot összehajtottunk úgy, hogy az alap \(\displaystyle A\) csúcsa a \(\displaystyle BC\) szár felezőpontjába került. Ekkor a hajtás élének egyik végpontja az \(\displaystyle AC\) szárat \(\displaystyle p:q\) arányban osztja. Milyen arányban osztja a hajtás élének másik végpontja az \(\displaystyle AB\) alapot?

A Magyar Hírlap nyomán

(5 pont)

---

B. 3368. Hány megoldása van a pozitív egész számok körében az \(\displaystyle x^7+y^8=z^9\) egyenletnek?

(5 pont)

---

B. 3369. Egy tetraéder mindegyik élén kijelöljük az egyik harmadolópontot. Mekkora lehet az ezek által meghatározott konvex test és a tetraéder térfogatának hányadosa?

(5 pont)

---

B. 3370. \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) két véletlen esemény. Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle \left|P(A\cdot B)-P(A)\cdot P(B)\right|\le {1\over 4}. \)

(5 pont)

---

B. 3371. Legfeljebb hány közös érintője lehet két ellipszisnek, ha közös az egyik fókuszuk?

(5 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. május 15-én LEJÁRT.

---

A. 236. Egy háromszög területe \(\displaystyle t\), oldalai \(\displaystyle a<b<c\), a hozzájuk tartozó súlyvonalak hossza rendre \(\displaystyle s_a\), \(\displaystyle s_b\), \(\displaystyle s_c\). Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle 4acs_as_c\ge 16t^2+(b^2-a^2)(c^2-b^2). \)

(5 pont)

---

A. 237. Egy konvex \(\displaystyle n\)-szögnek megrajzoltuk \(\displaystyle kn+1\) különböző átlóját (\(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) pozitív egészek). Igazoljuk, hogy a megrajzolt átlók közül kiválasztható \(\displaystyle 2k+1\) olyan, amelyek egy töröttvonalat alkotnak, és közülük semelyik kettő nem metszi egymást.

(5 pont)

---

A. 238. Legyen \(\displaystyle x\) pozitív valós szám és \(\displaystyle k\) pozitív egész. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle x^k+{1\over x^k}\) és \(\displaystyle x^{k+1}+{1\over x^{k+1}}\) racionális, akkor \(\displaystyle x+{1\over x}\) is racionális.

(5 pont)