A KöMaL 2000. májusi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. június 15-én LEJÁRT.

---

C. 585. Bizonyos magnókazettákban \(\displaystyle 0,0075~{\rm mm}\) vastagságú szalag tekeredik a \(\displaystyle 11~{\rm mm}\) átmérőjű orsókra. Az orsók középpontjainak távolsága \(\displaystyle 42~{\rm mm}\). Legfeljebb hány méter szalag lehet egy használható magnókazettában? (A tele orsóról a szalagnak akadálytalanul át kell jutnia az üres orsóra.)

(5 pont)

---

C. 586. Legfeljebb hány oldalú az a konvex sokszög, amelynek nincs két szomszédos tompaszöge?

(5 pont)

---

C. 587. Legyen \(\displaystyle n\) pozitív egész. Az \(\displaystyle x\)-tengely \(\displaystyle n\) abszcisszájú pontját összekötjük az \(\displaystyle y\)-tengely \(\displaystyle n-1\) és \(\displaystyle n+1\) ordinátájú pontjaival, továbbá az \(\displaystyle y\)-tengely \(\displaystyle n\) ordinátájú pontját összekötjük az \(\displaystyle x\)-tengely \(\displaystyle n-1\), illetve \(\displaystyle n+1\) abszcisszájú pontjaival. Mekkora területű négyszöget zár közre ez a négy szakasz?

(5 pont)

---

C. 588. Írjuk fel az \(\displaystyle f: (-\infty,\;-2)\rightarrow {\mathbb{R}}\), \(\displaystyle x\mapsto 2x^2+8x+7\) függvény inverzét.

(5 pont)

---

C. 589. Egy V keresztmetszetű vízlevezető árokban elakadt egy egyenes bot. A bot két vége az árok két különböző oldalához ér hozzá, és a két oldal síkjával azonos nagyságú szöget zár be. Mutassuk meg, hogy ekkor a bot két vége egyenlő távolságra van az árok aljától.

(5 pont)

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. június 15-én LEJÁRT.

---

B. 3372. Egy derékszögű háromszögről tudjuk, hogy a súlyvonalaiból mint oldalakból szerkesztett háromszög is derékszögű. Bizonyítsuk be, hogy a két háromszög hasonló.

(5 pont)

---

B. 3373. Az \(\displaystyle f\) egyenes két oldalán, tőle egységnyi távolságra megrajzoljuk az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle g\) egyeneseket. Legyenek \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle G\) a megfelelő egyenesek megfelelő pontjai úgy, hogy az általuk meghatározott háromszögben \(\displaystyle F\)-nél derékszög van. Mekkora a háromszög \(\displaystyle F\)-ből induló magassága?

(5 pont)

---

B. 3374. Egy vizsga két részből áll, írásbeliből és szóbeliből. Mindkét részre \(\displaystyle 0\)-tól \(\displaystyle 9\)-ig terjedő egész értékű pontszámot lehet szerezni. A rangsorban \(\displaystyle A\) megelőzi \(\displaystyle B\)-t, ha \(\displaystyle A\) eredménye egyik vizsgán sem rosszabb, mint \(\displaystyle B\)-é, továbbá legalább az egyik vizsgán \(\displaystyle A\) eredménye határozottan jobb. Egy csoport húsz diákja közül semelyik kettő eredménye nem azonos. Bizonyítsuk be, hogy van a csoportban három diák, \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\), akik közül \(\displaystyle A\) megelőzi \(\displaystyle B\)-t és \(\displaystyle B\) megelőzi \(\displaystyle C\)-t.

(5 pont)

---

B. 3375. Van-e olyan \(\displaystyle p(x)=x^2+ax+b\) egész együtthatós polinom, amelyre \(\displaystyle {a^2-4b\neq0}\) és \(\displaystyle p(x)\) legalább \(\displaystyle 2000\) egész helyen vesz fel négyzetszám értéket?

(5 pont)

---

B. 3376. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AC\) oldala egységnyi. Az \(\displaystyle A\) csúcsból induló súlyvonal \(\displaystyle 1:2\) arányban osztja az \(\displaystyle A\)-nál lévő szöget. Mekkora lehet a háromszög \(\displaystyle AB\) oldala?

(5 pont)

---

B. 3377. Legyen \(\displaystyle k\) páratlan szám. Mit ad maradékul a \(\displaystyle 2^{n-1}k^2+2^{n-2}k^4+2^{n-3}k^8+\dots+2k^{2^{n-1}}+k^{2^n}\) összeg \(\displaystyle 2^{n+2}\)-nel osztva?

(5 pont)

---

B. 3378. Egy érettségiző osztályban öt egyetemre felvételiznek, mindegyikre a diákoknak legalább a fele. Bizonyítsuk be, hogy van két olyan egyetem, hogy a diákoknak legalább az egyötöde mindkettőre jelentkezik.

(5 pont)

---

B. 3379. Legyen az \(\displaystyle ABC\) háromszögben az \(\displaystyle AA_1\), \(\displaystyle BB_1\), \(\displaystyle CC_1\) szögfelezők metszéspontja \(\displaystyle O\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle 8\leq {{AO}\over{A_1O}}\cdot{{BO}\over{B_1O}}\cdot{{CO}\over{C_1O}} \leq {{4R}\over r}\), ahol \(\displaystyle R\) a köréírt, \(\displaystyle r\) a beírt kör sugarát jelöli.

(5 pont)

---

B. 3380. Mutassuk meg, hogy minden paralelepipedonban vagy van olyan csúcs, amelynél a három élszög egyike sem hegyesszög, vagy van olyan csúcs, amelynél a három lapszög egyike sem tompaszög.

(5 pont)

---

B. 3381. Az osztályfőnök észrevette, hogy az osztályába járó \(\displaystyle 30\) gyerek között van kettő, akinek ugyanazon a napon van a születésnapja. Mutassuk meg, hogy ez nem is olyan meglepő, hiszen annak valószínűsége, hogy \(\displaystyle 30\) ember között van legalább kettő, akinek egy napon van a születésnapja, legalább \(\displaystyle 1-\left({703\over 732}\right)^{30}.\)

(5 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. június 15-én LEJÁRT.

---

A. 239. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adott az a három pont, ahol a súlyvonalak meghosszabbításai metszik a körülírt kört.

(5 pont)

---

A. 240. Legyenek \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle m\) pozitív egészek. Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \sum\limits _{\scriptstyle{1\le k\le n}\atop \scriptstyle{(k,\;m)=1}}{1\over k}\ge {{\varphi(m)}\over m}\cdot\sum\limits _{k=1}^n{1\over k}. \)

(\(\displaystyle \varphi\) az Euler-féle függvény.)

(5 pont)

---

A. 241. Igazoljuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle n\) pozitív egész esetén

\(\displaystyle \sum\limits _{k=0}^n(2k+1)^2{2k\choose k}{2n-2k\choose n-k}=2^{2n-1}(n+1)(3n+2). \)

(5 pont)