A KöMaL 2000. szeptemberi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. október 15-én LEJÁRT.

---

C. 590. Ismeretes, hogy a Föld felszínén a szabadon eső test \(\displaystyle s\approx 4,903t^2\) méter utat tesz meg \(\displaystyle t\) másodperc alatt. Hogyan módosul a képlet, ha a távolságot lábban, az időt pedig percben mérjük?

(5 pont)

---

C. 591. Arnold gondolt \(\displaystyle 5\) számot, és Bendegúznak megmondta valamennyi összeget, amelyeket két-két szám összeadásával kapott. Ezek a következők: \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 10\), \(\displaystyle 10\), \(\displaystyle 11\), \(\displaystyle 12\). Milyen számokra gondolt Arnold?

(5 pont)

---

C. 592. Mennyi az ötjegyű palindrom számok átlaga? (Egy egész szám palindrom, ha visszafelé olvasva önmagát kapjuk.)

(5 pont)

---

C. 593. Péter a bélyeggyűjteményéből az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), ..., \(\displaystyle 37\) forintos bélyegek mindegyikéből kivett egy-egy darabot. Szeretné ezeket úgy csoportosítani, hogy mindegyik csoportban ugyanannyi legyen a bélyegek névértékének összege. Hányféleképpen teheti ezt meg?

(5 pont)

---

C. 594. Egy húrtrapéz alapja \(\displaystyle a\), másik három oldalának összege \(\displaystyle d\). Mekkorák az oldalak, ha a trapéz területe maximális?

(5 pont)

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. október 15-én LEJÁRT.

---

B. 3382. Bizonyítsuk be, hogy ha 17 különböző pozitív prímszám négyzetének összege négyzetszám, akkor közülük a két legnagyobb négyzetének a különbsége osztható a legkisebbel.

(5 pont)

---

B. 3383. Derékszögű háromszögben \(\displaystyle s_a\) és \(\displaystyle s_b\) a befogókhoz, \(\displaystyle s_c\) pedig az átfogóhoz tartozó súlyvonal. Határozzuk meg az \(\displaystyle {{s_a+s_b}\over {s_c}}\) kifejezés maximumát.

(5 pont)

---

B. 3384. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c>0\), akkor:

\(\displaystyle {a^3\over a^2+ab+b^2}+{b^3\over b^2+bc+c^2}+{c^3\over c^2+ac+a^2}\ge {a+b+c\over 3}. \)

(5 pont)

---

B. 3385. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle BC=AC+{1\over2}AB\). \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle B\)-hez közelebb eső negyedelőpontja. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle PAC\sphericalangle=2CPA\sphericalangle\).

(5 pont)

---

B. 3386. Egy \(\displaystyle 5\times 5 \times 10\)-es téglatestben adott \(\displaystyle 2001\) pont. Bizonyítsuk be, hogy ki tudunk közülük választani kettőt, amelyek távolsága legfeljebb \(\displaystyle {\sqrt3\over2}\).

(5 pont)

---

B. 3387. Egy nem nulla \(\displaystyle {\bf p}\) vektornak és a \(\displaystyle 2\alpha \) szögű elforgatottjának az összege egyenlő a \(\displaystyle {\bf p}\) vektor \(\displaystyle \alpha \) szögű elforgatottjával. Mekkora az \(\displaystyle \alpha \) szög?

(5 pont)

---

B. 3388. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle B\) csúcsánál \(\displaystyle 120^{\circ}\)-os szög van. Ennek szögfelezője \(\displaystyle P\)-ben metszi az \(\displaystyle AC\) oldalt. A \(\displaystyle C\) csúcsból induló külső szögfelező \(\displaystyle Q\)-ban metszi az \(\displaystyle AB\) oldal egyenesét, a \(\displaystyle PQ\) szakasz pedig \(\displaystyle R\)-ben metszi a \(\displaystyle BC\) oldalt. Mekkora a \(\displaystyle PRA\) szög?

(5 pont)

---

B. 3389. Legyen \(\displaystyle H_n=\left\{\sqrt{2\pm\sqrt {2\dots\pm\sqrt{2}}}\right\}\), ahol a gyökjelek száma \(\displaystyle n\). Hány valós eleme van az \(\displaystyle \bigcup\limits_{n=1}^{2000}H_n\) halmaznak?

(5 pont)

---

B. 3390. Egy tetraéder minden csúcsában egy-egy \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle \sqrt{41}\) és \(\displaystyle \sqrt{34}\) hosszúságú él találkozik. Milyen hosszúak a tetraéder szemközti éleinek felezőpontjait összekötő szakaszok?

(5 pont)

---

B. 3391. Amikor Bendegúz érvényes helyjegyével felszállt a \(\displaystyle 78\) személyes vasúti kocsiba, döbbenten vette észre, hogy ott már minden hely foglalt. Az történt ugyanis, hogy Dömötör helyjegy nélkül szállt fel. A többi \(\displaystyle 77\) utas pedig – köztük Elek – vásárolt ugyan helyjegyet, de nem feltétlenül ültek oda, ahová a helyjegyük szólt. Bendegúz felállítja azt, aki a helyét elfoglalta. Aki feláll, az most már szintén a saját helyére szeretne leülni, és így tovább. Mindez addig folytatódik, míg végül Dömötör lelepleződik. Mennyi a valószínűsége annak, hogy Elek ülve nézheti végig az eseményeket?

(5 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. október 15-én LEJÁRT.

---

A. 242. Egy \(\displaystyle 5\times 5\times 10\)-es téglatestben adott \(\displaystyle 2001\) pont. Bizonyítsuk be, hogy ki tudunk közülük választani kettőt, amelyek távolsága kisebb, mint \(\displaystyle 0{,}7\).

(5 pont)

---

A. 243. Határozzuk meg mindazokat a \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) prímszámokat, amelyekre alkalmas \(\displaystyle n>1\) esetén

\(\displaystyle {p^{2n+1}-1\over p-1}={q^3-1\over q-1}. \)

(5 pont)

---

A. 244. Egy számsorozatot nevezzünk Fibonacci-típusúnak, ha a harmadiktól kezdve mindegyik eleme az előző kettő összege. Bizonyítsuk be, hogy a pozitív egész számok halmaza felbontható olyan Fibonacci-típusú végtelen sorozatok uniójára, amelyek közül semelyik kettőnek nincs közös eleme.

(5 pont)