A KöMaL 2000. októberi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. november 15-én LEJÁRT.

---

C. 595. Melyek azok a háromjegyű számok, amelyek egyenlők a számjegyeik faktoriálisainak összegével?

(5 pont)

---

C. 596. Oldjuk meg a valós számok halmazán az \(\displaystyle \left[{1\over {1-x}}\right]=\left[{1\over {1,5-x}}\right]\) egyenletet. ([a], az \(\displaystyle a\) egész része az \(\displaystyle a\)-nál nem nagyobb egészek legnagyobbika.)

(5 pont)

---

C. 597. Bizonyítsuk be, hogy egy derékszögű háromszögben a beírt és körülírt kör középpontjának távolsága a körülírt kör sugarának legalább a \(\displaystyle (\sqrt 2-1)\)-szerese.

(5 pont)

---

C. 598. Van-e \(\displaystyle 2000\) olyan pozitív egész szám, hogy egyikük sem osztható semelyik másikkal, de bármelyikük négyzete osztható az összes többi számmal?

(5 pont)

---

C. 599. Egy egyenes kúp alapkörének sugara \(\displaystyle R\), magassága egységnyi. A kúpot az alapsíkjától \(\displaystyle h\) távolságra elmetsszük az alapjával párhuzamos síkkal. A levágott kúpot tükrözzük a metsző síkra, majd a csonkakúpból a közös részt eltávolítjuk. Mekkora az így kapott test térfogata?

(5 pont)

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. november 15-én LEJÁRT.

---

B. 3392. Adott \(\displaystyle 25\) edény, űrtartalmuk rendre \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), ..., \(\displaystyle 25\) liter. Hányféleképpen választható ki közülük tíz úgy, hogy bármely két kiválasztott edény felhasználásával kimérhető legyen \(\displaystyle 1\) liter víz? (Korlátlan mennyiségű víz áll rendelkezésre, és egyik edényből a másikba is lehet töltögetni.)

(5 pont)

---

B. 3393. Mekkora az \(\displaystyle ABC\) háromszög és az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög területének aránya, ha az \(\displaystyle AA'\), \(\displaystyle BB'\), \(\displaystyle CC'\) szakaszok felezőpontjai rendre \(\displaystyle B'\), \(\displaystyle C'\), \(\displaystyle A'\)?

(5 pont)

---

B. 3394. Bizonyítsuk be, hogy pontosan akkor szerkeszthető \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) hosszúságú oldalakkal háromszög, ha az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pozitív valós számokra teljesül, hogy

\(\displaystyle (a^2+b^2+c^2)^2>2(a^4+b^4+c^4). \)

(5 pont)

---

B. 3395. Szerkesszük meg az \(\displaystyle A_1A_2A_3A_4A_5\) ötszöget, ha adott az \(\displaystyle A_i\) pontnak az \(\displaystyle A_{i+1}\) pontra vonatkozó tükörképe (\(\displaystyle i=1\), ..., \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle A_6:=A_1\)).

(5 pont)

---

B. 3396. Oldjuk meg az \(\displaystyle xy+yz+zx-xyz=2\) egyenletet, ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) pozitív egész számok.

(5 pont)

---

B. 3397. \(\displaystyle ABC\) egy hegyesszögű háromszög, a \(\displaystyle KLMN\) pedig egy olyan téglalap, hogy \(\displaystyle N\) az \(\displaystyle AC\) szakaszra, \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle L\) pedig az \(\displaystyle AB\) szakaszra illeszkedik. Toljuk el a \(\displaystyle KLMN\) téglalapot az \(\displaystyle AC\)-vel párhuzamosan úgy, hogy \(\displaystyle M'\) a \(\displaystyle BC\) szakaszra kerül. Így kapjuk a \(\displaystyle K'L'M'N'\) téglalapot. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle CL'\) és \(\displaystyle AB\) metszéspontját az \(\displaystyle AM\) és \(\displaystyle CB\) metszéspontjával összekötő egyenes merőleges az \(\displaystyle AB\) egyenesre.

(5 pont)

---

B. 3398. Az \(\displaystyle ABCD\) pontok úgy helyezkednek el a térben, hogy az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) szakaszok hossza \(\displaystyle 4\) egység, míg a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle DA\) szakaszok hossza \(\displaystyle 5\) egység. Jelölje az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) szakaszok hosszának négyzetét rendre \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\). Ábrázoljuk a koordináta-rendszerben az így adódó \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) számpárok halmazát.

(5 pont)

---

B. 3399. Adott a síkon két kör, \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\), rajtuk kívül pedig a \(\displaystyle P\) pont. A \(\displaystyle P\)-ből egy-egy érintőt húzunk a két körhöz, ezek érintési pontja \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\). Bizonyítsuk be, hogy azoknak a szakaszoknak az aránya, amelyeket a két kör metsz ki az \(\displaystyle EF\) egyenesből, nem függ attól, hogy melyik két érintőt rajzoltuk meg.

(5 pont)

---

B. 3400. Adott \(\displaystyle d\) egész számra legyen \(\displaystyle S_d=\{x^2+dy^2:x,\;y\in {\mathbb{Z}}\}\). Tegyük fel, hogy \(\displaystyle a\in S_d\) és \(\displaystyle b\in S_d\) olyanok, hogy \(\displaystyle b\) prím és \(\displaystyle {a\over b}\) egész, Bizonyítsuk be, hogy ekkor \(\displaystyle {a\over b}\in S_d\).

(5 pont)

---

B. 3401. Egy nagy, önkiszolgáló raktárban rengeteg árut tárolnak legfeljebb \(\displaystyle 1\) tonnás csomagokban. Van egy \(\displaystyle 3\) és egy \(\displaystyle 4\) tonnás teherautónk. Szerződést akarunk kötni, amelyben vállaljuk, hogy a raktárból egy fordulóval legalább \(\displaystyle N\) tonna árut szállítunk el. Mekkora \(\displaystyle N\) legnagyobb értéke?

(5 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. november 15-én LEJÁRT.

---

A. 245. Autónkkal egy kör alakú autópályán kell körbehaladnunk. A pálya mentén bizonyos helyeken benzinkutak vannak, az ezekben található összes üzemanyag két kör megtételére elég. Igazoljuk, hogy a benzinkutak közül kiválasztható legalább egy, amelytől bármelyik irányba elindulva oda visszajuthatunk.

(5 pont)

---

A. 246. Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\), \(\displaystyle w\) valós számnégyest, amelyre

\(\displaystyle x+y+z+w=x^7+y^7+z^7+w^7=0. \)

(5 pont)

---

A. 247. Igazoljuk, hogy az egységnégyzet oldalegyenesein nincs olyan pont, amely mind a négy csúcstól racionális távolságra van.

(5 pont)