A KöMaL 2000. novemberi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. december 15-én LEJÁRT.

---

C. 600. Személygépkocsival utazunk Budapestről Kassa felé állandó sebességgel. Meglátunk egy kilométert jelző táblát, amin egy kétjegyű szám van. Fél óra múlva olyan táblához érünk, amelyen az előbbi számjegyek állnak fordított sorrendben. Újabb \(\displaystyle 30\) perc múlva olyan táblához érünk, amelyen a két eddigi számjegyen kívül még egy \(\displaystyle 0\) is van. Mekkora sebességgel haladunk?

(5 pont)

---

C. 601. Oldjuk meg a következő egyenletet:

\(\displaystyle x^2+x+\sqrt{x^2+x+7}=5. \)

(5 pont)

---

C. 602. Legkevesebb hány egységkockából lehet összerakni egy nagy kockát úgy, hogy belül legyen a kis kockáknak több, mint a fele?

(5 pont)

---

C. 603. Határozzuk meg az \(\displaystyle f(x)={{x^2+x+1}\over{x^2+1}}\) függvény értékkészletét.

(5 pont)

---

C. 604. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja \(\displaystyle O\), területe pedig \(\displaystyle t\). Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle 2t=AO^2\sin \alpha+BO^2\sin \beta +CO^2\sin \gamma. \)

(5 pont)

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. december 15-én LEJÁRT.

---

B. 3402. Két iskola diákjai egy teszten a következő eredményt érték el:

Az első iskolába járó diákok átlaga \(\displaystyle 74\) pont, ebből a fiúké \(\displaystyle 71\), a lányoké pedig \(\displaystyle 76\) pont.

A másik iskolába járó diákok átlaga \(\displaystyle 84\) pont, ebből a fiúké \(\displaystyle 81\), a lányoké pedig \(\displaystyle 90\) pont.

Ha a két iskolában a fiúk átlaga összesen \(\displaystyle 79\) pont volt, mennyi volt a lányoké?

(5 pont)

---

B. 3403. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) valós számokra \(\displaystyle {1\over{a+b+c}}={1\over a}+{1\over b}+{1\over c}\) teljesül, akkor \(\displaystyle {1\over{a^5+b^5+c^5}}={1\over{a^5}}+{1\over{b^5}}+{1\over{c^5}}\).

(5 pont)

---

B. 3404. Egy \(\displaystyle 10\) egység élű kocka egyik csúcsából kiinduló három élének végpontja \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\). Az \(\displaystyle ABC\) síkkal párhuzamos \(\displaystyle {\cal S}_1\) és \(\displaystyle {\cal S}_2\) síkok a kockát három részre osztják, melyek térfogatának aránya \(\displaystyle {251:248:251}\). Mekkora a két sík távolsága?

(5 pont)

---

B. 3405. Van öt golyónk. Kilenc mérést hajthatunk végre egy egykarú mérlegen, amelyen egyszerre egy vagy két golyó súlyát mérhetjük meg. Megtörténhet azonban, hogy a kilenc mérés egyikének az eredményét tévesen jegyezzük föl. Megtudhatjuk-e ennek ellenére mind az \(\displaystyle 5\) golyó súlyát?

(5 pont)

---

B. 3406. Egy sokszög csúcsainak halmaza olyan \(\displaystyle (x,\;y)\) koordinátájú pontokból áll, amelyekre \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) pozitív egészek, továbbá \(\displaystyle x\mid 2y+1\) és \(\displaystyle y\mid 2x+1\). Mekkora lehet legfeljebb a sokszög területe?

(5 pont)

---

B. 3407. Arnold, Bendegúz, Cézár, Dorottya, Egon és Ferdinánd szerepjátékhoz készülődik. Még nem döntötték el, melyikük legyen a kalandmester. (Ebben a játékban egyikük a kalandmester, a többiek alkotják a csapatot.) A kalandmester személyéről sorsolással kívánnak dönteni, ehhez a játékban használt \(\displaystyle 10\) oldalú ,,dobókockával'' dobnak a következőképpen:

Előre meghatározott sorrendben mindenki egyszer dob a kockával. Az lesz a kalandmester, aki először \(\displaystyle 1\)-est, vagy \(\displaystyle 2\)-est dob. Ha a kör végére nincs meg a kalandmester, akkor újra kezdik ugyanebben a sorrendben a dobásokat mindaddig, amíg valaki \(\displaystyle 1\)-est vagy \(\displaystyle 2\)-est nem dob.

Dorottya még sohasem vezetett ebben a társaságban játékot, és most nagyon szeretne. A fiúk udvariasak és megengedik neki, hogy megválassza azt, hogy hányadiknak dob. Te mit javasolnál Dorottyának?

(5 pont)

---

B. 3408. Egy szabályos \(\displaystyle 2n\) oldalú sokszög minden csúcsára egy-egy egész számot írunk úgy, hogy a szomszédos csúcsokra írt számok különbsége \(\displaystyle 1\). Nevezzük hegyszámnak azokat a számokat, amelyek nagyobbak mindkét szomszédjuknál és völgyszámnak azokat, amelyek kisebbek mindkét szomszédjuknál. Bizonyítsuk be, hogy a hegyszámok összegéből a völgyszámok összegét levonva \(\displaystyle n\)-et kapunk.

(5 pont)

---

B. 3409. Tükrözzük az \(\displaystyle y=x^2\) parabolát az \(\displaystyle (1;1)\) pontra. Mi a tükörkép egyenlete?

(5 pont)

---

B. 3410. Egy három méter magas nagy festmény függ a falon, alsó széle egy méterrel van a néző szemmagassága felett. A kép látványa annál élvezhetőbb, minél nagyobb az a függőleges szög, amelyben látszik. Milyen távolságból nézve lesz ez a szög a lehető legnagyobb?

(5 pont)

---

B. 3411. Legalább hány oldalú az a szabályos sokszög, amely körülírt körének területét 1 ezreléknél kisebb hibával közelíti?

(5 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2000. december 15-én LEJÁRT.

---

A. 248. Hányféleképpen lehet egy \(\displaystyle n\)-elemű halmaz hatványhalmazát két diszjunkt részre: az \(\displaystyle I\) és \(\displaystyle H\) halmazokra bontani úgy, hogy a következő feltételek egyszerre teljesüljenek?

\(\displaystyle a)\) tetszőleges \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\in I\) esetén \(\displaystyle a\cup b\in I\) és \(\displaystyle a\cap b\in I\);

\(\displaystyle b)\) tetszőleges \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\in H\) esetén \(\displaystyle a\cup b\in H\) és \(\displaystyle a\cap b\in H\);

\(\displaystyle c)\) tetszőleges \(\displaystyle a\in I\), \(\displaystyle b\in H\) esetén \(\displaystyle a\cup b\in I\) és \(\displaystyle a\cap b\in H\).

(Egy halmaz hatványhalmazának az összes részhalmazainak halmazát nevezzük.)

(5 pont)

---

A. 249. Legyenek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle t\) pozitív számok és \(\displaystyle abc=1\). Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle \left(a+{1\over b}-t\right)\left(b+{1\over c}-t\right)\left(c+{1\over a}-t\right)\le (a+b+c)\left({1\over a}+{1\over b}+{1\over c}\right)(1-t)^2+4-3t. \)

(5 pont)

---

A. 250. Tekintsük a Hanoi tornyai néven közismert játék négytornyos változatát: \(\displaystyle n\) darab különböző méretű korong egymásra van helyezve nagyság szerint sorban úgy, hogy alul van a legnagyobb, felül a legkisebb. A korongokat egy másik helyre kell áthelyezni a következő szabályok betartásával:

– Egy lépésben csak egy korongot helyezhetünk át;

– Nem tehetünk nagyobb korongot kisebb korongra;

– Egyszerre összesen legfeljebb négy tornyot alkothatnak a korongok.

Bizonyítsuk be, hogy a szükséges minimális lépésszám legalább \(\displaystyle 2^{\sqrt{n}-1}\) és kisebb, mint \(\displaystyle 2^{2\sqrt{n}+2}\).

(5 pont)