A KöMaL 2000. decemberi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2001. január 15-én LEJÁRT.

---

C. 605. Oldjuk meg az alábbi egyenletet.

\(\displaystyle {1\over{[x]}}+{1\over{\{x\}}}=x \)

(\(\displaystyle [x]\) az \(\displaystyle x\) szám egész részét és \(\displaystyle \{x\}\) a tört részét jelöli.)

(5 pont)

---

C. 606. Az udvaron egy téglalap alakú részt egyforma négyzetlapokkal lebetonoztak. Pontosan \(\displaystyle 20\) sort raktak le, s minden sorban \(\displaystyle 35\) lap van. Egy csiga elindul a téglalap egyik csúcsából az átló mentén. Hány négyzetlap belsején halad át, mire a szemközti csúcsba ér?

(5 pont)

---

C. 607. Egy \(\displaystyle 12~{\rm cm}\) oldalú négyzetet a \(\displaystyle P\) pont körül \(\displaystyle 90^{\circ}\)-kal elforgatunk. A két négyzet együttesen \(\displaystyle 211~{\rm cm}^2\) területet fed le. Az elforgatott négyzetet a \(\displaystyle P\) körül ismét elforgatjuk \(\displaystyle 90^{\circ}\)-kal, így egy harmadik négyzetet kapunk. A három négyzet által lefedett terület \(\displaystyle 287~{\rm cm}^2\). Határozzuk meg a \(\displaystyle P\) pont helyzetét.

(5 pont)

---

C. 608. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy KENO sorsolás alkalmával az \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 80\)-ig terjedő egész számok közül kisorsolt \(\displaystyle 20\) szám egyikében sem fordul elő a \(\displaystyle 8\)-as számjegy?

(5 pont)

---

C. 609. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle 3x-4y+4=0\) egyenletű egyenes a sík bármely rácspontjától racionális távolságra van.

(5 pont)

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2001. január 15-én LEJÁRT.

---

B. 3412. Mutassuk meg, hogy két kivétellel minden pozitív egész \(\displaystyle q\) számhoz létezik olyan \(\displaystyle p\) egész, hogy \(\displaystyle \sqrt{56}<p/q<\sqrt{58}\).

http://nrich.maths.org

(5 pont)

---

B. 3413. A tavaly még professzionálisnak nevezett magyar labdarúgó bajnokság egy csoportjában az idén \(\displaystyle 8\) csapat szerepel. Minden meccs egyik résztvevője otthon, a másik idegenben játszik. Egy idényben, amikor minden csapat minden másikkal pontosan egyszer játszik, egy csapat sorsolását igazságosnak nevezzük, ha felváltva játszik otthon és idegenben. Lehet-e olyan sorsolást készíteni, amelyben mind a \(\displaystyle 8\) csapat sorsolása igazságos?

(5 pont)

---

B. 3414. Egy húrnégyszög átlói merőlegesek egymásra, oldalhosszai négyzetének összege \(\displaystyle 8\) egység. Határozzuk meg a körülírt körének sugarát.

(5 pont)

---

B. 3415. A \(\displaystyle p\) paraméter mely értékeire van az

\(\displaystyle x+1=\sqrt{px} \)

egyenletnek pontosan egy valós gyöke?

(5 pont)

---

B. 3416. Egy négyszöglapokkal határolt konvex poliéder felszíne \(\displaystyle A\), éleinek négyzetösszege \(\displaystyle Q\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle Q\ge 2A\).

(5 pont)

---

B. 3417. Tekintsük a síkon az összes olyan kört, amelynek egyenlete felírható

\(\displaystyle \alpha \left((x-2)^2+y^2-1\right)+\beta \left((x+2)^2+y^2-1\right)=0 \)

alakban, ahol \(\displaystyle \alpha \) és \(\displaystyle \beta \) valós számok. Hol vannak azok a pontok, amelyek egyik ilyen körön sincsenek rajta?

(5 pont)

---

B. 3418. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), illetve \(\displaystyle C\) csúcsokból induló súlyvonalak a háromszög köré írt kört rendre az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), illetve \(\displaystyle C_1\) pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle t_{A_1BC}+t_{B_1CA}+t_{C_1AB}\ge t_{ABC}\).

(5 pont)

---

B. 3419. A sík mely pontjaiból húzható az \(\displaystyle y=x^3\) egyenletű görbéhez három érintő?

(5 pont)

---

B. 3420. Keressünk olyan \(\displaystyle f:{\mathbb{R}} \rightarrow {\mathbb{R}}\) nem konstans függvényt, amelynek grafikonja \(\displaystyle 3\)-szoros nagyítással kapható a függvény négyzetének grafikonjából.

(5 pont)

---

B. 3421. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle u\) és \(\displaystyle v\) olyan egész számok, amelyekre \(\displaystyle {{x^2+3y^2}\over{u^2+3v^2}}\) egész, akkor alkalmas \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) egészekkel ez a hányados is felírható \(\displaystyle a^2+3b^2\) alakban.

(A megoldáshoz ajánljuk az 513. oldalon kezdődő, Számelmélet az \(\displaystyle x^2+dy^2\) alakú számok körében című cikk elolvasását.)

(5 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2001. január 15-én LEJÁRT.

---

A. 251. Adott a térben egy gömb. Ha a \(\displaystyle P\) pont illeszkedik a gömbre, a \(\displaystyle Q\) pont pedig nem, akkor jelölje \(\displaystyle P_Q\) a \(\displaystyle PQ\) egyenes és a gömb \(\displaystyle P\)-től különböző metszéspontját. Ha a \(\displaystyle PQ\) egyenes érinti a gömböt, akkor legyen \(\displaystyle P_Q=P\).

Igazoljuk, hogy ha a gömb \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) pontjai nincsenek egy síkban, akkor legfeljebb két olyan \(\displaystyle Q\) pont létezik, amelyre az \(\displaystyle A_QB_QC_QD_Q\) tetraéder egyenlő oldalú. (Egy tetraédert egyenlő oldalúnak nevezünk, ha a lapjai egybevágóak.)

(5 pont)

---

A. 252. Igazoljuk, hogy ha az \(\displaystyle a_1,\dots,a_n\) egész számok \(\displaystyle (n+k)\)-val osztva összesen legalább \(\displaystyle k+1\) különböző maradékot adnak, akkor kiválasztható közülük néhány (lehet, hogy csak egy; lehet, hogy az összes), amelyek összege osztható \(\displaystyle (n+k)\)-val.

(5 pont)

---

A. 253. Keressük meg az összes olyan \(\displaystyle f:(0,\infty)\rightarrow(0,\infty)\) függvényt, amelyre tetszőleges \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) pozitív valós számok esetén

\(\displaystyle f(x)f\left(yf(x)\right)=f(x+y). \)

IMC 2000, London

(5 pont)