A KöMaL 2001. januári matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2001. február 15-én LEJÁRT.

---

C. 610. Az ábrán látható céltábla három koncentrikus körből és két egymásra merőleges egyenesből áll, amelyek átmennek a körök középpontján. Az így keletkezett \(\displaystyle 12\) rész területe egyenlő. Adjuk meg a három kör sugarának arányát.

(5 pont)

---

C. 611. Határozzuk meg az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\), \(\displaystyle e\) számjegyeket úgy, hogy a velük felírt két ötjegyű számra teljesüljön az \(\displaystyle \overline{abcde}\cdot 9=\overline{edcba}\) egyenlőség.

(5 pont)

---

C. 612. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle C\) csúcsánál derékszög van. Jelölje \(\displaystyle D\) a \(\displaystyle C\) csúcsból az \(\displaystyle AB\) átfogóra bocsátott magasság talppontját. A \(\displaystyle D\)-ből a befogókra bocsátott merőlegesek talppontja legyen \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle DP\) és a \(\displaystyle DQ\) szakaszok összege legfeljebb akkora, mint a befogók hosszainak harmonikus közepe.

(Az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) számok harmonikus közepe a reciprokaik átlagának reciproka, azaz \(\displaystyle {2ab\over a+b}\).)

(5 pont)

---

C. 613. Messe az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle BC\) oldalával párhuzamos egyenes az \(\displaystyle AB\) oldal egyenesét a \(\displaystyle D\), az \(\displaystyle AC\) oldal egyenesét az \(\displaystyle E\) pontban. Legyen \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle BC\) oldal tetszőleges belső pontja. Mekkora az \(\displaystyle ADME\) négyszög területe, ha az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe \(\displaystyle T\), és az \(\displaystyle ADE\) háromszög területe \(\displaystyle t\)?

(5 pont)

---

C. 614. Az \(\displaystyle m\) valós paraméter mely értékeire nincs megoldása az

\(\displaystyle m\sin^2x+(m-1)\sin x+m-2=0 \)

egyenletnek?

(5 pont)

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2001. február 15-én LEJÁRT.

---

B. 3422. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle 7^{2001}-3^{3335}\) osztható \(\displaystyle 100\)-zal.

(5 pont)

---

B. 3423. Alkothatnak-e egy háromszög beírt körének az oldalakon levő érintési pontjai tompaszögű háromszöget?

(5 pont)

---

B. 3424. Egy szabályos háromszögbe négyzetet írunk, amelynek minden csúcsa a háromszög kerületén van. A négyzet egyik oldala egy kisebb szabályos háromszöget metsz le; ebbe hasonló módon ismét négyzetet írunk, és így tovább. A háromszög hányadrészét fedi le a négyszögek végtelen sorozata?

(5 pont)

---

B. 3425. A \(\displaystyle 3+4+5+6=3\cdot 6\);  \(\displaystyle 15+16+17+\dots+34+35=15\cdot 35\) egyenlőségek azt sugallják, hogy a természetes számokból ki lehet választani néhány egymás követőt úgy, hogy összegük egyenlő a legkisebb és a legnagyobb kiválasztott szám szorzatával. Mutassuk meg, hogy végtelen sok ilyen tulajdonságú sorozat van!

(5 pont)

---

B. 3426. Mit kapunk maradékul, ha az \(\displaystyle x^{2001}\) polinomot elosztjuk \(\displaystyle (x+1)^2\)-nel?

(5 pont)

---

B. 3427. Tükrözzük a hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalegyeneseit a rájuk nem merőleges magasságvonalakra. Az így kapott hat tükörkép közül három az \(\displaystyle ABC\) háromszög belsejében fekvő \(\displaystyle A_1B_1C_1\) háromszöget, míg a másik három az \(\displaystyle A_2B_2C_2\) háromszöget határolja. Ez utóbbi háromszögnek van egy \(\displaystyle 20^{\circ} \)-os és egy \(\displaystyle 70^{\circ} \)-os szöge. Számítsuk ki az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) háromszögek szögeit.

(5 pont)

---

B. 3428. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges háromszögben érvényes az alábbi összefüggés:

\(\displaystyle {r\cdot r_a\cdot r_b\cdot r_c\over R^4}\le {27\over 16}. \)

(\(\displaystyle R\) a háromszög köré írt, \(\displaystyle r\) a háromszögbe írt, \(\displaystyle r_a\), \(\displaystyle r_b\), \(\displaystyle r_c\) pedig a hozzáírt körök sugarát jelentik.)

(5 pont)

---

B. 3429. Legyen \(\displaystyle q={1+\sqrt5\over2}\), és legyen \(\displaystyle f:{\bf N}\rightarrow {\bf N}\) egy olyan függvény, amelyre tetszőleges pozitív egész \(\displaystyle n\) esetén

\(\displaystyle \big|f(n)-qn\big|<{1\over q}. \)

Igazoljuk, hogy \(\displaystyle f\big(f(n)\big)=f(n)+n\).

(5 pont)

---

B. 3430. Adottak a síkon a \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\), ..., \(\displaystyle P_n\) pontok. Kiválasztunk egy olyan \(\displaystyle 1\le i\le n\) indexet, amelyre a \(\displaystyle P_i\), \(\displaystyle P_{i+1}\), \(\displaystyle P_{i+2}\) pontok nincsenek egy egyenesen, és a \(\displaystyle P_iP_{i+1}P_{i+2}\) háromszög negatív körüljárású. (Az indexelés ciklikus). A \(\displaystyle P_{i+1}\) pontot kicseréljük arra a pontra, amit úgy kapunk, hogy \(\displaystyle P_{i+1}\)-et tükrözzük a \(\displaystyle P_iP_{i+2}\) szakasz felezőpontjára. Ezt mindaddig ismételjük, amíg csak létezik megfelelő \(\displaystyle i\) index. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges pontokból kiindulva az eljárás véges sok lépés után véget ér.

(5 pont)

---

B. 3431. OKOSBANK páncélszekrényén több különböző zár van. A bankban \(\displaystyle n\) pénztáros dolgozik, mindegyiknek kulcsa van a zárak némelyikéhez. (Egy pénztárosnak több kulcsa is lehet, és egy zárhoz többüknek is lehet kulcsa.) Tudjuk, hogy bármelyik \(\displaystyle k\) pénztáros együtt mindig ki tudja nyitni a páncélszekrényt, de \(\displaystyle k-1\) pénztáros soha. Legalább hány zár van a páncélszekrényen?

(5 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2001. február 15-én LEJÁRT.

---

A. 254. Adottak a síkon a \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\), ..., \(\displaystyle P_n\) pontok. Ezekkel a pontokkal a következő műveletet végezhetjük: Kiválasztunk egy olyan \(\displaystyle 1\le i\le n\) indexet, amelyre a \(\displaystyle P_i\), \(\displaystyle P_{i+1}\), \(\displaystyle P_{i+2}\) pontok nincsenek egy egyenesen, és a \(\displaystyle P_iP_{i+1}P_{i+2}\) háromszög negatív körüljárású. A \(\displaystyle P_{i+1}\) pontot kicseréljük arra a pontra, amit úgy kapunk, hogy \(\displaystyle P_{i+1}\)-et tükrözzük a \(\displaystyle P_iP_{i+2}\) szakaszra. Ezt a műveletet mindaddig ismételjük, amíg csak létezik megfelelő \(\displaystyle i\) index. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges pontokból kiindulva, az eljárás véges sok lépés után véget ér.

(5 pont)

---

A. 255. Legyen \(\displaystyle q={1+\sqrt5\over2}\), és definiáljuk a pozitív egészeken értelmezett \(\displaystyle f\) függvényt a következőképpen.

\(\displaystyle 1.\) Legyen \(\displaystyle f(1)=2\);

\(\displaystyle 2.\) Ha \(\displaystyle f(1)\), \(\displaystyle \dots\), \(\displaystyle f(n-1)\)-et már definiáltuk, és az \(\displaystyle n\) nem szerepel ezek között, akkor legyen \(\displaystyle f(n)=f(n-1)+1\);

\(\displaystyle 3.\) Ha \(\displaystyle f(1)\), \(\displaystyle \dots\), \(\displaystyle f(n-1)\)-et már definiáltuk, és az \(\displaystyle n\) szerepel ezek között, akkor legyen \(\displaystyle k\) a legkisebb pozitív egész, amelyre \(\displaystyle f(k)=n\), és legyen \(\displaystyle f(n)=n+k\).

Igazoljuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle n\) pozitív egészre

\(\displaystyle qn-{1\over q} < f(n) \le qn+{1\over q^2}. \)

(5 pont)

---

A. 256. Van \(\displaystyle n\) golyó, mindegyiknek szeretnénk megtudni a súlyát. Ehhez rendelkezésünkre áll egy olyan egykarú mérleg, amellyel egyszerre egy vagy két golyó súlyának összegét lehet meghatározni. Arra is fel kell készülnünk, hogy esetleg az egyik mérés pontatlan lesz. Jelöljük \(\displaystyle f(n)\)-nel azt a minimális mérésszámot, amellyel az összes golyó súlya minden esetben biztosan meghatározható. Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle f(n)<n+\log_3 n+3. \)

(5 pont)