A KöMaL 2001. februári matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2001. március 15-én LEJÁRT.

---

C. 615. Egy háromtételes zenemű lejátszása \(\displaystyle 60\) percig tart. Egyik tétel sem hosszabb, mint a másik két tétel együttvéve. Bármelyik két tétel hossza között legalább \(\displaystyle 3\) perc különbség van. Milyen határok között változhat a legrövidebb tétel időtartama?

(5 pont)

---

C. 616. Lehetséges-e, hogy egy nyolctagú társaságban az ismetetségek száma rendre

a) \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 6\)      b) \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 7\)?

(5 pont)

---

C. 617. Az \(\displaystyle ABC\) egyenlő szárú háromszögben az \(\displaystyle AB\) alap felezőpontja \(\displaystyle D\), a \(\displaystyle D\)-ből \(\displaystyle CB\)-re állított merőleges talppontja \(\displaystyle P\), a \(\displaystyle DP\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle F\). Fejezzük ki az \(\displaystyle AFPC\) négyszög területét a \(\displaystyle CF\) és az \(\displaystyle AP\) segítségével.

(5 pont)

---

C. 618. Egy \(\displaystyle ABCD\) téglalap hosszabbik oldala \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle AB\) szakasz, \(\displaystyle Q\) a \(\displaystyle CD\) szakasz belső pontja. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle P\)-nek és \(\displaystyle Q\)-nak pontosan egy olyan helyzete van, amelyben \(\displaystyle APCQ\) rombusz. Mutassuk meg, hogy a téglalap oldalainak arányát változtatva a rombusz és a téglalap területének aránya \(\displaystyle {1/2}\) és \(\displaystyle 1\) között bármilyen értéket felvehet.

(5 pont)

---

C. 619. \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 100~000\)-ig hány olyan \(\displaystyle n\) egész szám van, amelyre \(\displaystyle n^3+23n\) többszöröse a \(\displaystyle 24\)-nek?

(5 pont)

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2001. március 15-én LEJÁRT.

---

B. 3432. Az alábbi táblázat a Pascal-háromszög mintájára készült. Az első sor két eleme \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 2\), ezután pedig minden újabb szám a felette álló kettő összege.

\(\displaystyle \begin{matrix} & & &1& &2& & & \\ & &1& &3& &2& & \\ &1& &4& &5& &2& \\ 1& &5& &9& &7& &2\\ &&&&\dots&&&& \end{matrix}\)

a) Mennyi a \(\displaystyle 100\)-adik sorban álló számok összege?

b) Mit kapunk, ha a 100-adik sorban váltakozó előjellel adjuk össze a számokat?

c) Mennyi a \(\displaystyle 100\)-adik sor \(\displaystyle 47\)-edik eleme?

(5 pont)

---

B. 3433. Egy geometria konferencia résztvevői a szünetben olyan szendvicseket kaptak, amelyek mindegyikén egy téglatest alakú kenyéren egy vastag szelet henger alakú sajt és egy gömb alakú húspogácsa volt. Mindig ketté lehet-e vágni egy ilyen szendvicset egyetlen egyenes vágással úgy, hogy a két rész kenyérből, húsból és sajtból is ugyanannyit tartalmazzon?

(5 pont)

---

B. 3434. Egy trapéz alapjai \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\). A trapéz elmetszhető az alapokkal párhuzamos egyenessel úgy, hogy a két rész-trapézba kör írható. Mekkora az eredeti trapéz kerülete?

(5 pont)

---

B. 3435. Keressük meg az alábbi egyenletrendszer nemnegatív megoldásait:

\(\displaystyle \displaylines{ x_1+x_2+x_3+\dots+x_{100}=5050\cr x_2^2-x_1^2=3\qquad \dots\qquad x_k^2-x_{k-1}^2=2k-1\qquad \dots\qquad x_{100}^2-x_{99}^2=199.\cr }\)

(5 pont)

---

B. 3436. Az egységnyi területű \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) oldalain adottak a \(\displaystyle C_1\), \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\) pontok úgy, hogy

\(\displaystyle {AC_1\over C_1B}={1\over2},\qquad\qquad {BA_1\over A_1C}={1\over3},\qquad\qquad {CB_1\over B_1A}={1\over4}. \)

Mekkora területű háromszöget határolnak az \(\displaystyle AA_1\), \(\displaystyle BB_1\), \(\displaystyle CC_1\) egyenesek?

(5 pont)

---

B. 3437. Egy egyenesen ebben a sorrendben adottak az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) pontok úgy, hogy \(\displaystyle BC=2AB\), \(\displaystyle CD=AC\). Bizonyítsuk be, hogy bárhogyan is rajzolunk egy-egy kört az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\), illetve a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle D\) pontokon keresztül, akkor ezek közös húrja felezi az \(\displaystyle AC\) szakaszt.

(5 pont)

---

B. 3438. Az \(\displaystyle f(x,\;y,\;z)\) függvényre teljesül, hogy bármely \(\displaystyle t\) valós számra

\(\displaystyle \eqalign{ f(x+t,\;y+t,\;z+t)&=t+f(x,\;y,\;z);\cr f(tx,\;ty,\;tz)&=tf(x,\;y,\;z);\cr f(x,\;y,\;z)&=f(y,\;x,\;z)=f(x,\;z,\;y).\cr }\)

Mennyi \(\displaystyle f(2000,\;2001,\;2002)\)?

(5 pont)

---

B. 3439. Jelöljön \(\displaystyle p\) egy pozitív számot, és tekintsük az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle p\), \(\displaystyle {1\over p}\), \(\displaystyle p^2\), \(\displaystyle {1\over p^2}\), ..., \(\displaystyle p^n\), \(\displaystyle {1\over p^n}\) ... végtelen sorozatot. Mely \(\displaystyle p\) számokra igaz, hogy minden pozitív szám tetszőleges pontossággal megközelíthető a fenti sorozat véges sok alkalmas elemének összegével?

(5 pont)

---

B. 3440. Az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) pontok tükörképe egy \(\displaystyle e\) egyenesre \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle C_1\), egy \(\displaystyle P\) pontra pedig \(\displaystyle A_2\), \(\displaystyle B_2\), \(\displaystyle C_2\). Mi a \(\displaystyle P\) tükörképe az \(\displaystyle e\) egyenesre, ha \(\displaystyle \overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{C_1C_2}=\overrightarrow{0}\)?

(5 pont)

---

B. 3441. Pinokkiónak \(\displaystyle 9\)-féle akadályon kell sikerrel túljutnia, hogy hús-vér gyerek lehessen. Nehéz dolga van; ha egy akadályon elbukik, akkor vissza kell térnie az előzőhöz, és ott újra kell próbálkoznia. Ha a legelső akadályon bukik el, akkor fabábu marad örökre. Pinokkió nem tanul a kudarcokból, ezért az egyes akadályokon a siker valószínűsége mindig \(\displaystyle {1\over 10}\), \(\displaystyle {2\over 10}\), \(\displaystyle {3\over 10}\), ..., \(\displaystyle {9\over 10}\), akárhányadszor is próbálkozik. Milyen sorrendben rendezze el a Kékhajú Tündér a Pinokkióra váró akadályokat ahhoz, hogy Pinokkió a legnagyobb eséllyel változzék át igazi gyerekké, és mekkora ebben az esetben a siker valószínűsége?

(5 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2001. március 15-én LEJÁRT.

---

A. 257. Van \(\displaystyle n\) golyó, mindegyiknek szeretnénk megtudni a súlyát. Ehhez rendelkezésünkre áll egy olyan egykarú mérleg, amellyel egyszerre egy vagy két golyó súlyának összegét lehet meghatározni. Arra is fel kell készülnünk, hogy esetleg az egyik mérés pontatlan lesz. Jelöljük \(\displaystyle f(n)\)-nel azt a minimális mérésszámot, amellyel az összes golyó súlya minden esetben biztosan meghatározható. Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle f(n)>n+\log_3 n-3. \)

(5 pont)

---

A. 258. Adott az \(\displaystyle e\) egyenesen hat különböző pont: \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EF}\). Szerkesszünk egyetlen egyenes vonalzóval olyan egyenest, amely párhuzamos \(\displaystyle e\)-vel.

(5 pont)

---

A. 259. Az \(\displaystyle x_1\), \(\displaystyle x_2\), \(\displaystyle \dots\), \(\displaystyle x_n\), valamint \(\displaystyle y_1<y_2<\dots<y_n\) pozitív valós számokra és az \(\displaystyle u>1\) valós számra teljesül, hogy tetszőleges \(\displaystyle 1\le k\le n\) esetén

\(\displaystyle x_1^u+x_2^u+\dots+x_k^u\le y_1^u+y_2^u+\dots+y_k^u. \)

Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle x_1+x_2+\dots +x_n\le y_1+y_2+\dots y_n. \)

(5 pont)