A KöMaL 2001. márciusi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2001. április 15-én LEJÁRT.

---

C. 620. Egy trapézt szimmetrikus trapéznak nevezünk, ha alapjainak felező merőlegese egybeesik. Igaz-e, hogy ha egy trapéz szimmetrikus, akkor szimmetrikus trapéz?

(5 pont)

---

C. 621. Egy sütödében, ahol mazsolás kalácsot is készítenek, a pék azt szeretné, ha a kalácsok bármely \(\displaystyle 4~{\rm dkg}\)-os szeletében legalább \(\displaystyle 0,99\) valószínűséggel lenne mazsola. \(\displaystyle 1~{\rm kg}\) kalács elkészítéséhez hány szem mazsolát keverjen a tésztához?

(5 pont)

---

C. 622. Adjuk meg az összes olyan \(\displaystyle 7\)-tel osztható \(\displaystyle \overline{ABCCBA}\) alakú hatjegyű számot, amelyre \(\displaystyle \overline{ABC}\) is \(\displaystyle 7\)-tel osztható. (\(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) különböző számjegyeket jelölnek.)

(5 pont)

---

C. 623. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

\(\displaystyle \eqalign{ a^2b^2-a^2-ab+1&=0\cr a^2c-ab-a-c&=0\cr abc&=-1.\cr }\)

(5 pont)

---

C. 624. Belefér-e százezer darab \(\displaystyle 4~{\rm cm}\) átmérőjű szabványos pingponglabda egy \(\displaystyle {200~{\rm cm}\times164~{\rm cm}\times146~{\rm cm}}\) méretű ládába?

(5 pont)

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2001. április 15-én LEJÁRT.

---

B. 3442. Van-e olyan \(\displaystyle 2001\) jegyű természetes szám, amely megegyezik a \(\displaystyle 2001\)-edik hatványának utolsó \(\displaystyle 2001\) számjegyével?

(5 pont)

---

B. 3443. Az \(\displaystyle ABCD\) téglalap \(\displaystyle CB\) oldalának \(\displaystyle B\)-n túli meghosszabbítására, valamint a \(\displaystyle CD\) oldalának \(\displaystyle D\)-n túli meghosszabbítására egyenlő hosszúságú szakaszokat mértünk fel. Így kaptuk az \(\displaystyle F\), illetve az \(\displaystyle E\) pontokat. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle EB\) és az \(\displaystyle FD\) egyenesek metszéspontját \(\displaystyle A\)-val összekötő egyenes felezi az \(\displaystyle A\) csúcsnál lévő szöget.

(5 pont)

---

B. 3444. A pozitív egész számokból álló végtelen \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle a_3\), ... sorozatban jelölje \(\displaystyle f_n\) az \(\displaystyle n\) természetes szám előfordulásainak a számát, ha ez az érték véges.

Az \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle {\dots}\) sorozat ,,gyakoriságsorozata'' ezután az \(\displaystyle f_1\), \(\displaystyle f_2\), ... sorozat, ha minden \(\displaystyle f_i\) véges. Hasonlóan értelmezzük a fenti \(\displaystyle f_1\), \(\displaystyle f_2\), ... sorozat gyakoriságsorozataként az \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), ... sorozat másodrendű gyakoriságsorozatát, ha minden gyakoriság véges, és ennek gyakoriságsorozataként a harmadrendű gyakoriságsorozatot és így tovább.

Van-e olyan \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), ... sorozat, amelynek minden \(\displaystyle k\)-ra létezik a \(\displaystyle k\)-adrendű gyakoriságsorozata?

(5 pont)

---

B. 3445. Van-e olyan háromszög, amelyet valamelyik oldalával párhuzamosan ketté lehet vágni úgy, hogy a két rész kerülete is és területe is egyenlő?

(5 pont)

---

B. 3446. Határozzuk meg a \(\displaystyle q(x)\) polinomot úgy, hogy a \(\displaystyle p(x)=x^2+x+1\) polinommal \(\displaystyle p^2(x)-2p(x)q(x)+q^2(x)-4p(x)+3q(x)+3\equiv0\) azonosság teljesüljön.

(5 pont)

---

B. 3447. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalait pozitív körüljárás szerint kétszeresére nyújtjuk, majd ugyanezt megismételjük a kapott \(\displaystyle A_1B_1C_1\) háromszögre, ezúttal negatív körüljárás szerint. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott \(\displaystyle A_2B_2C_2\) háromszög hasonló az \(\displaystyle ABC\) háromszöghöz. Milyen hasonló állítás igaz négyszögekre?

(5 pont)

---

B. 3448. Mutassuk meg, hogy adott ellipszisbe írt olyan háromszögek területe, amelyek súlypontja egybeesik az ellipszis középpontjával, állandó.

(5 pont)

---

B. 3449. Legyen \(\displaystyle a>1\) adott egész szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle x^2-ay^2=-1\) egyenletnek van egész megoldása, akkor végtelen sok egész megoldása van.

(5 pont)

---

B. 3450. Tekintsük azokat a síkokat, amelyek a \(\displaystyle {\cal T}\) tetraéder lapsíkjaival párhuzamosak, és a \(\displaystyle {\cal T}\)-ből általuk levágott kis tetraéderek térfogata \(\displaystyle {\cal T}\) térfogatának \(\displaystyle 1/3\) része. A \(\displaystyle {\cal T}\) térfogatának hányadrésze marad meg, ha csúcsait levágjuk ezekkel a síkokkal?

(5 pont)

---

B. 3451. Oldjuk meg a következő egyenletet: \(\displaystyle \arcsin x+ \arcsin \sqrt{15}x=\pi/2\).

(5 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2001. április 15-én LEJÁRT.

---

A. 260. Adott az \(\displaystyle e\) egyenesen négy különböző pont: \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\), és tudjuk, hogy \(\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\). Létezik-e olyan, egyetlen egyenes vonalzót használó szerkesztési eljárás, amely egy \(\displaystyle e\)-vel párhuzamos egyenest szerkeszt meg?

(5 pont)

---

A. 261. Aladár és Benedek egységnyi oldalú szabályos háromszögekből összerakott egy \(\displaystyle n\) oldalú szabályos háromszöget. Az így kapott táblán a következő játékot játsszák: Felváltva kiszíneznek egy-egy csúcspontot a piros, kék és zöld színek valamelyikével mindaddig, amíg az összes csúcs, beleértve a nagy háromszög oldalain és belsejében levő pontokat is, ki lesz színezve. Minden olyan egységnyi oldalú háromszögért, amelynek csúcsai piros-kék-zöld színűek pozitív körüljárás szerint, az első lépést megtevő Aladár kap egy pontot. Azokért a háromszögekért, amelyeknek csúcsai piros-kék-zöld színűek negatív körüljárás szerint, Benedek kap egy-egy pontot. Az nyer, aki több pontot szerez.

Kinek van nyerő stratégiája?

(5 pont)

---

A. 262. \(\displaystyle 0<a<b<c\) egész számok. Bizonyítsuk be, hogy léteznek olyan \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) egész számok, amelyek nem mind 0-k, \(\displaystyle ax+by+cz=0\) és \(\displaystyle |x|\), \(\displaystyle |y|\), \(\displaystyle |z|\) mindegyike kisebb, mint \(\displaystyle {2\over{\sqrt3}}\sqrt c\).

(5 pont)