A KöMaL 2001. áprilisi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2001. május 15-én LEJÁRT.

---

C. 625. A McDonald's éttermekben \(\displaystyle 6\)-os, \(\displaystyle 9\)-es vagy \(\displaystyle 20\)-as csomagolásban rendelhetünk Chicken McNuggets-et. (Így például kérhetünk \(\displaystyle 21\) darabot, mert \(\displaystyle 21=6+6+9\), de semmilyen módon nem kaphatunk \(\displaystyle 19\) darabot.) Melyik az a legnagyobb darabszám, amit nem tudunk rendelni?

(5 pont)

---

C. 626. Az \(\displaystyle 5\) egység sugarú körlapot vágjuk szét két húrral három egyenlő területű részre. Milyen hosszúak ezek a húrok?

(5 pont)

---

C. 627. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

\(\displaystyle \displaylines{ a+b=c+d,\cr a^3+b^3=c^3+d^3.\cr }\)

(5 pont)

---

C. 628. Egy tetraéder alakú kartondobozt felvágunk az egyik csúcsából induló három éle mentén, majd az ,,elváló'' lapokat leterítjük a fenti csúccsal szemközti lap síkjába. Így egy \(\displaystyle 30~{\rm cm}\) oldalú négyzetet kapunk. Mekkora a tetraéder térfogata?

(5 pont)

---

C. 629. Igazoljuk, hogy ha tizenhárom egész szám összege osztható \(\displaystyle 6\)-tal, akkor a tizenhárom szám tizenharmadik hatványának összege is osztható \(\displaystyle 6\)-tal.

(5 pont)

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2001. május 15-én LEJÁRT.

---

B. 3452. Két játékos egy \(\displaystyle 5\times 5\)-ös táblázat mezőibe felváltva jeleket ír; a kezdő játékos mindig egy X jelet, a második pedig mindig két O jelet. Az nyer, akinek először van öt jele egy sorban vagy egy oszlopban. Milyen stratégiát kövessen a második játékos, ha nyerni akar?

(5 pont)

---

B. 3453. Legyen az \(\displaystyle ABC\) háromszög súlypontja \(\displaystyle S\), az \(\displaystyle AS\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle H\), az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontja \(\displaystyle Q\). Messe a \(\displaystyle H\)-n keresztül \(\displaystyle BC\)-vel húzott párhuzamos az \(\displaystyle AB\) oldalt \(\displaystyle P\)-ben, a \(\displaystyle CQ\) egyenest \(\displaystyle R\)-ben. Mekkora a \(\displaystyle PQR\) és az \(\displaystyle APH\) háromszögek területének aránya?

(5 pont)

---

B. 3454. Van \(\displaystyle 27\) darab \(\displaystyle 1~{\rm cm}\) élű kockánk.

a) Ki lehet-e festeni ezek lapjait lilára, fehérre és sárgára úgy, hogy a készletből lila, fehér, valamint sárga felszínű \(\displaystyle 3\times3\times 3\)-as kockát is össze lehessen állítani?

b) Legalább hány lapot kell lilára festenünk ahhoz, hogy biztosan összerakható legyen az egységkockákból egy lila felszínű \(\displaystyle 3~{\rm cm}\) élű kocka?

(5 pont)

---

B. 3455. Adjunk meg végtelen sok \(\displaystyle (m,\;n)\) számpárt úgy, hogy az \(\displaystyle m\), \(\displaystyle n\) különböző egész számoknak ugyanazok legyenek a prímosztói, és az \(\displaystyle m+1\), \(\displaystyle n+1\) számoknak is ugyanazok legyenek a prímosztói.

(5 pont)

---

B. 3456. Egy tetraéder éleire pozitív egész számokat írunk. Egy lépésben a következő módon változtathatjuk meg az élekre írt számokat. Kiválasztunk egy csúcsot, és a belőle induló három élre írt számok helyébe a következőket írjuk: egy-egy élre a kiválasztott csúcsból induló másik két élre írt számok különbségét úgy, hogy az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) számok különbségének felírásakor szabadon választhatunk \(\displaystyle {a-b}\) és \(\displaystyle {b-a}\) közül, a harmadik élre pedig a kiválasztott csúcsból induló másik két élre írt számok összegét. Előfordulhat-e, hogy néhány lépés után minden élen \(\displaystyle 0\) áll?

(5 pont)

---

B. 3457. Határozzuk meg azon \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) pozitív prímeket, amelyekre az \(\displaystyle x^4+p^2x+q=0\) egyenletnek van többszörös gyöke.

(5 pont)

---

B. 3458. Adott a síkon \(\displaystyle n\) piros pont. Mutassuk meg, hogy elhelyezhető \(\displaystyle 2n\) kék pont úgy, hogy a piros pontok által meghatározott minden háromszög belsejében van legalább egy kék.

(5 pont)

---

B. 3459. Egy \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) csúcsai köré \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) sugarú egymáson kívül elhelyezkedő köröket rajzolunk úgy, hogy \(\displaystyle a+c=b+d\). Mutassuk meg, hogy a szemközti csúcsok köré rajzolt körök két-két közös külső érintője érintő­négyszöget határoz meg.

(5 pont)

---

B. 3460. Egy háromszögben a beírt körnek a \(\displaystyle \gamma\) szöggel szemközti oldalon lévő érintési pontja az oldalt \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) hosszú szakaszokra osztja. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög területe \(\displaystyle xy\, \ctg{{\gamma}\over2}\).

(5 pont)

---

B. 3461. Legyenek \(\displaystyle a>0\) és \(\displaystyle c\ne 0\) adott egész számok. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle x^2-ay^2=c\) egyenletnek van legalább \(\displaystyle {4c^2+1}\) különböző egész megoldása, akkor végtelen sok egész megoldása van.

(5 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2001. május 15-én LEJÁRT.

---

A. 263. Adott egy körön \(\displaystyle n\) piros és \(\displaystyle n\) kék ív úgy, hogy bármely piros ív metsz bármely kék ívet. Bizonyítsuk be, hogy van olyan pont a körön, amelyet legalább \(\displaystyle n\) színes ív fed le.

Schweitzer Miklós Matematikai Emlékverseny, 2000

(5 pont)

---

A. 264. A \(\displaystyle (0,\;1)\) intervallum racionális elemeinek a \(\displaystyle p\) valós együtthatós polinom szerinti képe egy másik intervallum racionális elemeinek halmaza. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle p\) legfeljebb elsőfokú.

Fried Ervin, Budapest

(5 pont)

---

A. 265. Definiáljuk az \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle \dots\) sorozatot a következő rekurzióval.

\(\displaystyle \displaylines{ a_1=a_2=a_3=1;\qquad a_{n+1}={a_n^2+a_{n-1}^2\over a_{n-2}}\qquad (n=3,\;4,\;\dots)\cr }\)

Igazoljuk, hogy a sorozat egész számokból áll.

(5 pont)