A KöMaL 2001. májusi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2001. június 15-én LEJÁRT.

---

C. 630. Egy négyjegyű szám első két számjegyének összege egyenlő az utolsó két számjegy összegével. Az első és az utolsó számjegy összege a harmadik számjegyet adja. A második és negyedik számjegy összege az első és a harmadik összegének kétszerese. Melyik ez a négyjegyű szám?

(5 pont)

---

C. 631. Az \(\displaystyle y=|x-1|+|x+1|\) függvény grafikonja és az \(\displaystyle y=c\) egyenletű egyenes által közrezárt síkidom területe \(\displaystyle 30\). Mekkora a \(\displaystyle c\) állandó értéke?

(5 pont)

---

C. 632. A \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 15\), \(\displaystyle 24\), \(\displaystyle 48\), ... sorozat a \(\displaystyle 3\) azon többszöröseiből áll, amelyek \(\displaystyle 1\)-gyel kisebbek egy négyzetszámnál. Mennyi a maradék, ha a sorozat \(\displaystyle 2001\)-edik tagját elosztjuk \(\displaystyle 1000\)-rel?

(5 pont)

---

C. 633. Egy tetraéder lapjainak területe egyenlő, továbbá a háromszög lapok beírható köreinek sugarai is egyenlőek. Mutassuk meg, hogy a tetraéder lapjai egybevágóak.

(5 pont)

---

C. 634. Csonkakúp alakú, felfelé szélesedő \(\displaystyle 1\) literes háztartási mérőedényen a \(\displaystyle 1/2\) liter jele az edény magasságának \(\displaystyle 2/3\) részénél található. Mekkora az alapkör és a fedőkör átmérőjének aránya?

(5 pont)

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2001. június 15-én LEJÁRT.

---

B. 3462. Milyen \(\displaystyle n\)-ekre érhető el, hogy a \(\displaystyle \pm1\pm2\pm{\dots}\pm n\) alakú összegek között szerepeljen a \(\displaystyle 100\)?

(5 pont)

---

B. 3463. Egy félkör alakú szivaccsal, amelynek átmérője \(\displaystyle 20~{\rm cm}\), végigtöröljük egy szoba padlójának egy sarkát úgy, hogy az átmérő két végpontja folyamatosan érinti a szoba derékszöget bezáró két falát. Mekkora területet töröl fel eközben a szivacs?

(5 pont)

---

B. 3464. Hány olyan \(\displaystyle n\)-jegyű szám van, amelyben a számjegyek összege \(\displaystyle 9n-8\)?

(5 pont)

---

B. 3465. Az egységoldalú \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle AB\) oldalán lévő \(\displaystyle E\) és az \(\displaystyle F\) pontokra \(\displaystyle AE={1\over n}\) és \(\displaystyle BF={1\over m}\), ahol \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle n\) pozitív egész számok. A \(\displaystyle B\) pontból kiinduló, \(\displaystyle AB\)-vel \(\displaystyle 30^{\circ}\)-os szöget bezáró egyenes érinti az \(\displaystyle EF\), mint átmérő fölé, a négyzet belsejébe rajzolt félkört. Határozzuk meg az \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle n\) értékét. Van-e a kapott számpárok között olyan, amely mellett a félkör érinti az \(\displaystyle AC\) átlót is?

(5 pont)

---

B. 3466. Határozzuk meg az \(\displaystyle ABCD\) négyzet síkjában azon pontok mértani helyét, amelyekre \(\displaystyle \sin APB\sphericalangle=\sin DPC\sphericalangle\).

(5 pont)

---

B. 3467. Keressük meg az \(\displaystyle x(1+x)(3-x)\) kifejezés maximumát a pozitív számok körében a differenciálszámítás alkalmazása nélkül.

(A feladat megoldása előtt ajánljuk Csete Lajos 267. oldalon kezdődő cikkének elovasását.)

(5 pont)

---

B. 3468. Egy konvex tízszög semelyik három átlója sem megy át egy ponton, és egy, a sokszög belsejében lévő \(\displaystyle P\) pont egyik átlón sincs rajta. Mutassuk meg, hogy a sokszög csúcsai közül legalább \(\displaystyle 28\)-féleképpen választható ki négy úgy, hogy az általuk meghatározott négyszög tartalmazza \(\displaystyle P\)-t.

(5 pont)

---

B. 3469. Határozzuk meg mindazokat a folytonos \(\displaystyle f\) függvényeket, amelyekre \(\displaystyle f\big(f(x)\big)=x+f(x)\) minden \(\displaystyle x\) valós számra.

(5 pont)

---

B. 3470. Írjuk föl annak az egyenesnek az egyenletét, amely az \(\displaystyle y=3x^4-4x^3\) egyenletű görbét két különböző pontban érinti.

(5 pont)

---

B. 3471. Egy hangya mászkál az \(\displaystyle x^2+y^2+xy=6\) egyenletű görbe által határolt területen. Útvonala a koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenes szakaszokból áll. A hangya a görbe tetszőleges pontjából kiindulva addig megy egyenesen a görbe belsejében, amíg újra eléri a görbe határát. Ekkor \(\displaystyle 90^{\circ}\)-kal elfordul és folytatja útját a görbe belsejében. A hangya csak akkor áll meg, ha olyan határponthoz ér, amelyben már járt, vagy ha nem tudja útját a fenti szabálynak megfelelően folytatni. Bizonyítsuk be, hogy függetlenül a kiindulási ponttól a hangya előbb-utóbb megáll.

(5 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2001. június 15-én LEJÁRT.

---

A. 266. Az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle A_2\), \(\displaystyle A_3\), \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle B_2\), \(\displaystyle B_3\) pontok egy körön helyezkednek el. Tetszőleges \(\displaystyle 0<t<1\) valós számra legyen \(\displaystyle C_i(t)\) és \(\displaystyle D_i(t)\) az \(\displaystyle A_iB_i\) szakaszt \(\displaystyle t:(1-t)\) arányban osztó pont (\(\displaystyle i=1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\)). Legyen \(\displaystyle e(t)\) a \(\displaystyle C_1(t)C_2(t)C_3(t)\) és \(\displaystyle D_1(t)D_2(t)D_3(t)\) háromszögek körülírt köreinek hatványvonala (ha létezik).

Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle e(t)\) egyenesek vagy párhuzamosak, vagy egy ponton mennek át.

(5 pont)

---

A. 267. Legyen \(\displaystyle m\), \(\displaystyle n\) pozitív egész és \(\displaystyle 0\le x\le 1\). Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle (1-x^n)^m+\big(1-(1-x)^m\big)^n\ge 1. \)

(5 pont)

---

A. 268. Egy szabályos \(\displaystyle 2n\)-szög \(\displaystyle n\) csúcsát pirosra, a többi csúcsát kékre színeztük. Nagyság szerint sorbarendezzük az összes piros pontpár távolságát, és nagyság szerint sorbarendezzük az összes kék pontpár távolságát is. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott két, \(\displaystyle {n\choose 2}\) hosszúságú számsorozat ugyanaz.

(5 pont)