A KöMaL 2001. szeptemberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2001. október 15-én LEJÁRT. |
C. 635. Számtanórán megkérdezték a gyerekeket, hogy hány lába van összesen egy tyúknak, hat kutyának és hét palpigradinak (a palpigradi egy állat latin neve). Aladár szerint \(\displaystyle 46\), Benő szerint \(\displaystyle 52\), Cecília szerint \(\displaystyle 66\), Dóra szerint \(\displaystyle 78\), Eufrozina szerint pedig \(\displaystyle 82\). Melyiküknek van igaza?
(5 pont)
C. 636. Ábrázoljuk a derékszögű koordinátarendszerben azokat a pontokat, amelyek koordinátáira
\(\displaystyle -2\leq x \leq 2,\qquad -3\leq y \leq 3,\qquad \{x\}\leq \{y\}. \)
(A \(\displaystyle \{ z\}\) a \(\displaystyle z\) szám törtrészét jelöli.)
(5 pont)
C. 637. Melyik az a pozitív egész szám, amely a tízes és a nyolcas számrendszerben is háromjegyű, továbbá számjegyeinek összege mindkét esetben tizennégy?
(5 pont)
C. 638. Hány olyan négyzetes oszlop van, amelyben az élek cm-ben mért mérőszáma egész szám, és a felszín mérőszáma \(\displaystyle {\rm cm}^2\)-ben megadva annyi, mint a térfogat mérőszáma \(\displaystyle {\rm cm}^3\)-ben megadva?
(5 pont)
C. 639. Hány olyan pozitív egész számokból álló \(\displaystyle (a;b)\) számpár van, amelyre
\(\displaystyle 1\leq a \leq 2001,\qquad\qquad 1\leq b \leq 2001, \)
és az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) számok legkisebb közös többszöröse \(\displaystyle 2001\)?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2001. október 15-én LEJÁRT. |
B. 3472. Hány olyan időpont van reggel \(\displaystyle 6\) és este \(\displaystyle 6\) óra között, amikor nem tudjuk kitalálni az óráról a pontos időt, ha nem tudjuk megkülönböztetni a nagy- és a kismutatót?
(3 pont)
B. 3473. A \(\displaystyle 2\) egységnyi területű \(\displaystyle ABCD\) paralelogrammában az \(\displaystyle AD\)-vel párhuzamos egyenes a \(\displaystyle P\) és az \(\displaystyle R\), az \(\displaystyle AB\)-vel párhuzamos egyenes pedig az \(\displaystyle S\) és a \(\displaystyle Q\) pontokban metszi a paralelogramma kerületét az ábra szerint. Mekkora az \(\displaystyle AQR\), \(\displaystyle BRS\), \(\displaystyle DPQ\) és \(\displaystyle CSP\) háromszögek területének összege?
(3 pont)
B. 3474. Határozzuk meg az \(\displaystyle ({\underbrace{111\dots1}_{112~{\rm db}}})^2\) hátulról számított hetvenharmadik számjegyét.
(4 pont)
B. 3475. Az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) oldalú háromszög szögei \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), \(\displaystyle \gamma\). Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle 3\alpha+2\beta=180^{\circ}\), akkor \(\displaystyle a^2+bc-c^2=0\).
(4 pont)
B. 3476. Egy szabályos \(\displaystyle 10\) oldalú sokszög egy tetszőleges belső pontját a sokszög csúcsaival összekötve \(\displaystyle 10\) darab háromszöget kapunk. A háromszögeket adott körüljárás szerint felváltva pirosra, illetve kékre festjük. Bizonyítsuk be, hogy a kék területek összege egyenlő a piros területek összegével.
(4 pont)
B. 3477. Legfeljebb mekkora lehet a \(\displaystyle 2^n\) fokos szög szinusza, ha \(\displaystyle n\) pozitív egész?
(4 pont)
B. 3478. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög hozzáírt köreinek középpontjai \(\displaystyle O_1\), \(\displaystyle O_2\), \(\displaystyle O_3\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle O_1O_2O_3\) háromszög területe legalább négyszerese \(\displaystyle ABC\) háromszög területének.
(4 pont)
B. 3479. Keressük meg a \(\displaystyle 6t^2+3s^2-4st-8t+6s+5\) kifejezés minimumát.
(4 pont)
B. 3480. Adottak az \(\displaystyle e\) egyenesen az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok ebben a sorrendben. Mi azon \(\displaystyle P\) pontok mértani helye a síkban, amelyekre az \(\displaystyle APB\) és a \(\displaystyle CPD\) szögek egyenlők?
(5 pont)
B. 3481. Legyen \(\displaystyle f_1(x)=-{{2x+7}\over{x+3}}\), \(\displaystyle f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))\). Határozzuk meg \(\displaystyle f_{2001}(2002)\) értékét.
(4 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2001. október 15-én LEJÁRT. |
A. 269. Egy kör keresztmetszetű lyukat két \(\displaystyle 1\) méter oldalú négyzetlappal szeretnénk hézagmentesen lefedni. Milyen határok között mozoghat a lyuk átmérője?
(5 pont)
A. 270. Igazoljuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) pozitív számokra
\(\displaystyle \root 3 \of {abc+abd+acd+bcd\over4}\leq \sqrt{{{ab+ac+ad+bc+bd+cd}\over6}}. \)
(5 pont)
A. 271. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle p\geq5\) prímszámra
\(\displaystyle \sum_{0<k<{2p\over3}}{p\choose k} \)
osztható \(\displaystyle p^2\)-tel.
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)