A KöMaL 2001. októberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2001. november 15-én LEJÁRT. |
C. 640. A Gergely naptár szerint \(\displaystyle 400\) egymást követő év során összesen \(\displaystyle 97\) szökőnapot kell beiktatni. Hány év elteltével lesz \(\displaystyle 1\) nap eltérés a Gergely naptár és a ,,pontos'' naptár között, ha egy év hossza \(\displaystyle 365\) nap \(\displaystyle 5\) óra \(\displaystyle 48\) perc \(\displaystyle 46\) másodperc?
(5 pont)
C. 641. Egy téglalap alakú papírlapot az átlója mentén összehajtunk. A dupla rétegen túlnyúló részeket levágva, a megmaradt papír széthajtás után rombusz alakú lesz. Ezt most a középvonala mentén hajtjuk össze, és a papírt az előbbihez hasonlóan megint körbenyírjuk. Milyen téglalapból induljunk ki, hogy a végül megmaradt papír széthajtás után szabályos hatszög alakú legyen?
(5 pont)
C. 642. Egy természetes szám négyzetének utolsó két jegyét felcserélve az eggyel nagyobb szám négyzetét kapjuk. Határozzuk meg az összes ilyen számot.
(5 pont)
C. 643. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe \(\displaystyle t\), kerülete \(\displaystyle k\), a körülírt kör sugara \(\displaystyle R\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle 4tR\le \left({k\over3}\right)^3\).
(5 pont)
C. 644. Egy háromszög szögei \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\). Bizonyítsuk be, hogy:
\(\displaystyle {\cos\alpha \over \sin\beta \sin\gamma }+{\cos\beta \over \sin\alpha \sin\gamma }+{\cos\gamma \over \sin\alpha \sin\beta }=2. \)
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2001. november 15-én LEJÁRT. |
B. 3482. Négy jóbarát észrevette, hogy ha elosztják a könyveik számát a számjegyek összegével, akkor eredményül mind a négyen ugyanazt az egész számot, \(\displaystyle 13\)-at kapják. Bizonyítsuk be, hogy legalább kettejüknek ugyanannyi könyve van.
(4 pont)
B. 3483. Az \(\displaystyle ABCD\) téglalap \(\displaystyle AB\) oldalának felezőpontja \(\displaystyle F\). A \(\displaystyle C\)-ből induló szögfelező egy \(\displaystyle P\) pontjának vetülete a \(\displaystyle BC\) egyenesre \(\displaystyle Q\). Bizonyítsuk be, hogy ha a \(\displaystyle PF\) egyenes merőleges a \(\displaystyle DQ\) egyenesre, akkor \(\displaystyle AP=BC\).
(3 pont)
B. 3484. Egy háromszög \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), \(\displaystyle \gamma\) szögeire \(\displaystyle \ctg {\alpha \over 2}\), \(\displaystyle \ctg{\beta \over 2}\), \(\displaystyle \ctg{\gamma \over 2}\) egymást követő egész számok. Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?
(3 pont)
B. 3485. Az \(\displaystyle A\) halmaz elemei pozitív egész számok, és tetszőleges \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\in A\), \(\displaystyle x>y\) esetén \(\displaystyle x-y\geq {xy\over 25}\). Legfeljebb hány eleme lehet az \(\displaystyle A\) halmaznak?
(4 pont)
B. 3486. Adott a síkon \(\displaystyle 2001\) pont és egy egységnyi sugarú körvonal. Bizonyítsuk be, hogy található a körvonalon olyan pont, amelytől az adott pontokig mért távolságok összege legalább \(\displaystyle 2001\).
(4 pont)
B. 3487. Határozzuk meg mindazokat a pozitív valós számok halmazán értelmezett \(\displaystyle f\) függvényeket, amelyek az értelmezési tartományukban mindenütt eleget tesznek az \(\displaystyle f(x)+2f\left({1\over x}\right)=3x+6\) összefüggésnek.
(3 pont)
B. 3488. Egy téglalap alakú \(\displaystyle ABCD\) biliárdasztal oldalai \(\displaystyle AB=150~{\rm cm}\), \(\displaystyle BC=205~{\rm cm}\). Az asztalon négy lyuk van, ezek a csúcsokban találhatók. Az \(\displaystyle A\) csúcsból (a lyuk felől) ellökünk egy golyót az asztal oldalával \(\displaystyle 45^{\circ}\)-os szöget bezáró irányban. Valahányszor az asztal széléhez ér, a golyó rugalmasan visszapattan. Mi történik a golyóval?
(4 pont)
B. 3489. Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle 2^n\mid {2n\choose 0}+{2n\choose 2}3+\dots+{2n\choose 2i}3^i+\dots+{2n\choose 2n}3^n. \)
(5 pont)
B. 3490. A Bergengóc Országgyűlés \(\displaystyle 100\) képviselője a Parlament nagytermének \(\displaystyle 10\) padsorában \(\displaystyle 10\) oszlopban foglal helyet. A küldötteknek mind különböző a fizetése. Minden képviselő megkérdezi szomszédait (a maga mellett, előtt, mögött ülőket és az átlós szomszédait is, összesen tehát legfeljebb \(\displaystyle 8\)-at), hogy mennyi a fizetésük. A küldöttek meglehetősen irigyek: csak azok elégedettek a bérükkel, akiknek legfeljebb egy olyan szomszédja van, aki többet keres náluk. Legfeljebb hány olyan képviselő lehet a Parlamentben, aki meg van elégedve a fizetésével?
(4 pont)
B. 3491. Döntsük el, hogy igaz-e a következő állítás. Ha adott a térben \(\displaystyle n\) piros pont, akkor mindig elhelyezhető \(\displaystyle 3n\) kék pont úgy, hogy a piros pontok által meghatározott minden tetraéder belsejében van legalább egy kék.
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2001. november 15-én LEJÁRT. |
A. 272. A Bergengóc Országgyűlés \(\displaystyle 100\) képviselője a Parlament nagytermének \(\displaystyle 10\) padsorában \(\displaystyle 10\) oszlopban foglal helyet. A küldötteknek mind különböző a fizetése. Minden képviselő megkérdezi szomszédait (a maga mellett, előtt és mögött ülőket, összesen tehát legfeljebb \(\displaystyle 4\)-et), hogy mennyi a fizetésük. A küldöttek meglehetősen irigyek: csak azok elégedettek a bérükkel, akiknek legfeljebb egy olyan szomszédja van, aki többet keres náluk. Legfeljebb hány olyan képviselő lehet a Parlamentben, aki meg van elégedve a fizetésével?
(5 pont)
A. 273. Szerkesszük meg az \(\displaystyle ABC\) háromszöget, amelynek beírt köre az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) oldalakat rendre a \(\displaystyle C_1\), \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\) pontokban érinti, ha adott az \(\displaystyle A\) csúcs, az \(\displaystyle A_1B_1\) egyenes és a \(\displaystyle B_1C_1\) szakasz felezőpontját a \(\displaystyle B\) csúccsal összekötő egyenes.
(5 pont)
A. 274. Legyenek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) olyan pozitív egészek, amelyekre \(\displaystyle ac=b^2+b+1\). Bizonyítsuk be, hogy az
\(\displaystyle ax^2-(2b+1)xy+cy^2=1 \)
egyenletnek létezik egész megoldása.
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)