A KöMaL 2001. novemberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2001. december 15-én LEJÁRT. |
C. 645. Ketten a következő játékot játsszák. Egy kupacból, amelyben kezdetben \(\displaystyle 7\) szál gyufa van, felváltva vesznek el minden lépésben egy, két vagy három szál gyufát, amíg mind el nem fogy. Az nyer, akinél a végén páros számú gyufa van.
A kezdőnek, vagy ellenfelének van-e nyerő stratégiája? Hogyan kell játszania, hogy nyerjen?
(5 pont)
C. 646. A természetes számok sorozatából elhagyjuk a négyzetszámokat. A megmaradó számok sorozatában melyik a \(\displaystyle 2001\)-edik, és hányadik helyen áll a \(\displaystyle 2001\)?
(5 pont)
C. 647. Megrajzoltuk a koordinátarendszerben az \(\displaystyle f(x)={1\over x}\) függvény grafikonját. Mekkorának válasszuk az új, egymással továbbra is egyenlő egységeket a tengelyeken, ha azt akarjuk, hogy a görbe a \(\displaystyle g(x)={2\over x}\) függvény grafikonja legyen?
(5 pont)
C. 648. Mennyi a \(\displaystyle 2^{\log_6 18}\cdot3^{\log_6 3}\) pontos értéke?
(5 pont)
C. 649. Egy csonkagúla alaplapjának a területe \(\displaystyle 8~{\rm cm}^2\), fedőlapjának a területe \(\displaystyle 1~{\rm cm}^2\). A gúlát az alaplappal párhuzamos síkkal két egyenlő térfogatú részre osztjuk. Mekkora a síkmetszet területe?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2001. december 15-én LEJÁRT. |
B. 3492. Egy \(\displaystyle n\times n\)-es táblázatba beírjuk sorban az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), ..., \(\displaystyle n^2\) számokat:
\(\displaystyle \begin{matrix} 1&2&\ldots&n\\ n+1&n+2&\ldots&2n\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ n^2-n+1&n^2-n+2&\ldots&n^2\\ \end{matrix} \)
Minden sorból kiválasztunk egy-egy számot úgy, hogy semelyik kettő ne legyen ugyanabban az oszlopban.
Mik a kiválasztott számok összegének lehetséges értékei?
(3 pont)
B. 3493. Ketten a következő játékot játsszák. Egy kupacból, amelyben kezdetben páratlan darab gyufaszál van, felváltva vesznek el minden lépésben egy, két vagy három szál gyufát, amíg mind el nem fogy. Az nyer, akinél a végén páros számú gyufa van.
A kezdőnek, vagy ellenfelének van-e nyerő stratégiája?
(5 pont)
B. 3494. Igazoljuk, hogy ha az \(\displaystyle ax^3+bx^2+cx+d=0\) egyenletnek három különböző pozitív gyöke van, akkor \(\displaystyle bc<3ad\).
(4 pont)
B. 3495. Az \(\displaystyle ABCD\) téglalap oldalai \(\displaystyle AB=3\), \(\displaystyle BC=2\). \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle AB\) oldalnak az a pontja, amelyre a \(\displaystyle PD\) egyenes érinti, mégpedig \(\displaystyle E\)-ben, a \(\displaystyle BC\) átmérőjű kört. A kör középpontján és \(\displaystyle E\)-n átmenő egyenes az \(\displaystyle AB\) oldalt \(\displaystyle Q\)-ban metszi. Mekkora a \(\displaystyle PQE\) háromszög területe?
(3 pont)
B. 3496. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet belsejében úgy vettük föl a \(\displaystyle P\) pontot, hogy \(\displaystyle AP:BP:CP=1:2:3\). Mekkora az \(\displaystyle APB\) szög?
(4 pont)
B. 3497. Az \(\displaystyle x\) valós számra \(\displaystyle \{x\}+\left\{x^{-1}\right\}=1\). Határozzuk meg
\(\displaystyle \left\{x^{2001}\right\}+\left\{x^{-2001}\right\} \)
értékét.
(4 pont)
B. 3498. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle C\)-nél derékszög van. A hegyesszögek szögfelezői a szemközti oldalakat az \(\displaystyle M\) és az \(\displaystyle N\) pontban metszik. Legyen \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle MN\) szakasz és a \(\displaystyle C\)-ből induló magasság metszéspontja. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle CP\) hossza egyenlő a beírt kör sugarával.
(4 pont)
B. 3499. Az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) pozitív számok mértani közepe \(\displaystyle g\). Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle g\geq3\), akkor \(\displaystyle {1\over \sqrt {1+x}}+{1\over \sqrt {1+y}}\ge {2\over \sqrt {1+g}},\) ha pedig \(\displaystyle g\leq2\), akkor \(\displaystyle {1\over \sqrt {1+x}}+{1\over \sqrt {1+y}}\leq {2\over \sqrt {1+g}}\).
(5 pont)
B. 3500. Száz fiú és száz lány áll egy-egy sorban egymással szemben. Minden egyes fiú kiválaszt magának egy lányt (ugyanazt a lányt többen is választhatják) és egyenesen odamegy hozzá. Útközben a fiúk útvonalai nem keresztezik egymást. Ezután a fiúk visszaállnak a helyükre, most a lányok választanak, és most is teljesül, hogy miközben egyenesen odamennek a kiszemelt fiúhoz, az útvonalaik nem keresztezik egymást. Bizonyítsuk be, hogy van olyan lány és fiú, akik egymást választották.
(4 pont)
B. 3501. Adottak a térbeli koordinátarendszerben az \(\displaystyle A(1,\;1,\;1)\) és a \(\displaystyle P(1,\;1,\;0)\) pontok. Forgassuk el az \(\displaystyle OA\) félegyenes körül pozitív irányban \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szöggel a \(\displaystyle P\) pontot. Határozzuk meg az elforgatott pont koordinátáit.
(4 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2001. december 15-én LEJÁRT. |
A. 275. Egy \(\displaystyle n\times n\)-es táblázatba beírjuk sorban az \(\displaystyle 1^2\), \(\displaystyle 2^2\), \(\displaystyle 3^2\), ..., \(\displaystyle (n^2)^2\) számokat:
\(\displaystyle \matrix{ 1^2&2^2&\ldots&n^2\cr (n+1)^2&(n+2)^2&\ldots&(2n)^2\cr \vdots&\vdots&&\vdots\cr (n^2-n+1)^2&(n^2-n+2)^2&\ldots&(n^2)^2\cr }\)
Minden sorból kiválasztunk egy-egy számot úgy, hogy semelyik kettő ne legyen ugyanabban az oszlopban.
Mik a kiválasztott számok összegének lehetséges értékei?
(5 pont)
A. 276. Az \(\displaystyle x_1\), ..., \(\displaystyle x_n\) pozitív számok szorzata \(\displaystyle (n^\alpha-1)^n\), ahol \(\displaystyle {\alpha\ge 1}\) valós szám. Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle \sum_{i=1}^n{1\over(x_i+1)^{1/\alpha}}\ge 1. \)
(5 pont)
A. 277. Legyen \(\displaystyle H_1\) egy \(\displaystyle n\)-oldalú sokszög. Készítsük el a \(\displaystyle H_1\), \(\displaystyle H_2\), ..., \(\displaystyle H_n\) sokszögsorozatot a következőképpen. Ha \(\displaystyle H_k\)-t már elkészítettük, akkor \(\displaystyle H_{k+1}\)-et úgy kapjuk, hogy \(\displaystyle H_k\) csúcsait rendre tükrözzük a pozitív körüljárás szerinti \(\displaystyle k\)-adik szomszédjukra.
Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle n\) prímszám, akkor a \(\displaystyle H_1\) és \(\displaystyle H_n\) sokszögek hasonlók.
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)