A KöMaL 2001. decemberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. január 15-én LEJÁRT. |
C. 650. Egy képkereskedésben a képek keretének ára egyenesen arányos a bennük lévő festmények értékével. A kereskedő annak érdekében, hogy bizonyos képek ára közötti különbséget csökkentse, felcserél egymással két-két keretet. Az egyik esetben az a kép, amely ötször annyiba került, mint a másik, kereteik felcserélése után már csak háromszor annyiba kerül. Hogyan módosul a ,,Téli táj'' és a ,,Falu rossza'' c. képek árainak aránya, ha kereteik felcserélése előtt a ,,Téli táj'' kilencszer annyiba került, mint a ,,Falu rossza''?
(5 pont)
C. 651. Az ábrán látható egységnyi területű körben a szürke tartományt félkörívek határolják. Az \(\displaystyle AB\) átmérőnek \(\displaystyle 1/5\) egységnyi része esik a satírozott tartomány belsejébe. Mekkora a satírozott tartomány kerülete és a területe?
(5 pont)
C. 652. Legyen \(\displaystyle s\) páratlan sok jegyű pozitív egész szám. Jelölje \(\displaystyle f\) azt a számot, amely \(\displaystyle s\) számjegyeiből áll, csak fordított sorrendben. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle s+f\) pontosan akkor osztható \(\displaystyle 11\)-gyel, ha \(\displaystyle s\) is osztható \(\displaystyle 11\)-gyel.
(5 pont)
C. 653. A \(\displaystyle p\) paraméter hány különböző értékére van az
\(\displaystyle \eqalign{ x^2-y^2&=0\cr xy+px-py&=p^2\cr }\)
egyenletrendszernek pontosan egy megoldása?
(5 pont)
C. 654. \(\displaystyle f_a\), \(\displaystyle f_b\) és \(\displaystyle f_c\) jelölik egy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) oldalú, \(\displaystyle T\) területű háromszög belső szögfelezőinek a hosszát. Igazoljuk, hogy
\(\displaystyle {f_a\cdot f_b\cdot f_c\over abc}=4T\cdot{a+b+c\over(a+b)(b+c)(a+c)}. \)
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. január 15-én LEJÁRT. |
B. 3502. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben az \(\displaystyle AB\) átmérőjű félkör a \(\displaystyle C\)-ből induló magasságot \(\displaystyle C_1\)-ben, a \(\displaystyle BC\) átmérőjű félkör az \(\displaystyle A\)-ból induló magasságot \(\displaystyle A_1\)-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle BC_1=BA_1\).
(3 pont)
B. 3503. Adottak az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) és \(\displaystyle f\) szakaszok. Tegyük fel, hogy létezik olyan négyszög, melynek egymást követő oldalai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\), az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle c\) oldalak felezőpontját összekötő szakasz hossza pedig \(\displaystyle f\). Szerkesszünk ilyen négyszöget.
(4 pont)
B. 3504. Jelölje \(\displaystyle S(n)\) a tízes számrendszerben felírt \(\displaystyle n\) szám jegyeinek az összegét, \(\displaystyle U_k=11\dots1\) pedig a \(\displaystyle k\) darab egyessel felírt számot. Keressük meg azokat a \(\displaystyle k\) értékeket, amelyekre \(\displaystyle S(U_k^2)=(S(U_k))^2\).
(4 pont)
B. 3505. Egy szabályos nyolcszöget paralelogrammákra osztunk fel. Bizonyítsuk be, hogy a paralelogrammák között van téglalap.
(5 pont)
B. 3506. Az \(\displaystyle f\) polinomra teljesül, hogy \(\displaystyle f(x^2+1)-f(x^2-1)=4x^2+6\). Határozzuk meg az \(\displaystyle f(x^2+1)-f(x^2)\) polinomot.
(4 pont)
B. 3507. Legyen \(\displaystyle f(x)\) egész együtthatós polinom, \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) pedig relatív prímek, \(\displaystyle {q\neq 0}\). Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle p/q\) gyöke az \(\displaystyle f\)-nek, akkor \(\displaystyle f(k)\) minden \(\displaystyle k\) egészre osztható \(\displaystyle p-kq\)-val. Igaz-e az állítás megfordítása?
(4 pont)
B. 3508. Az \(\displaystyle ABC\) és az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) háromszögek tengelyesen tükrös helyzetűek. Húzzunk párhuzamost \(\displaystyle A_1\)-en keresztül \(\displaystyle BC\)-vel, \(\displaystyle B_1\)-en keresztül \(\displaystyle AC\)-vel, végül \(\displaystyle C_1\)-en keresztül \(\displaystyle AB\)-vel. Bizonyítsuk be, hogy ez a három egyenes egy ponton halad át.
(4 pont)
B. 3509. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle 0<x<{\pi\over2^{k+1}}\), akkor
\(\displaystyle {1\over\sin 2x}+{1\over\sin 4x}+\dots+{1\over\sin 2^kx}<\ctg x. \)
(3 pont)
B. 3510. Az \(\displaystyle ABCD\) tetraéder csúcsain keresztül fektessünk a szemközti lapokkal párhuzamos síkokat. Ez a négy sík egy újabb tetraédert határoz meg. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) az így kapott tetraéder lapjainak a súlypontjai.
(3 pont)
B. 3511. Az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) nemnegatív számokra \(\displaystyle a\leq1\), \(\displaystyle a+b\leq5\), \(\displaystyle a+b+c\leq14\) és \(\displaystyle a+b+c+d\leq30\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle \sqrt a+\sqrt b+\sqrt c+\sqrt d\leq10\).
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. január 15-én LEJÁRT. |
A. 278. A \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle ABCD\) téglalap \(\displaystyle AC\) átlójának \(\displaystyle C\)-n túli meghosszabbításán helyezkedik el úgy, hogy \(\displaystyle BPD\sphericalangle =CBP\sphericalangle\). Határozzuk meg a \(\displaystyle PB:PC\) arányt.
(5 pont)
A. 279. Léteznek-e olyan \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) racionális tört függvények, amelyekre
\(\displaystyle (f(x))^3+(g(x))^3=x? \)
(5 pont)
A. 280. Tetszőleges \(\displaystyle n\) pozitív egész számra legyen
\(\displaystyle f_n(\vartheta)=\sin\vartheta\cdot\sin(2\vartheta)\cdot\sin(4\vartheta)\cdot\dots\cdot\sin(2^n\vartheta). \)
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle \vartheta\) valós szám és \(\displaystyle n\) pozitív egész esetén
\(\displaystyle |f_n(\vartheta)|<{2\over\sqrt3}\left|f_n\left({\pi\over3}\right)\right|. \)
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)