A KöMaL 2002. januári matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. február 15-én LEJÁRT. |
C. 655. Barabás nagymamája egy ideje minden lottósorsoláskor félretesz perselyébe némi aprópénzt unokájának. A nagyi rendkívül precíz hölgy, és az alábbi szabályokat mindig betartja:
1) Csak fémpénzt tesz félre.
2) Egy szám kisorsolásakor a számnak megfelelő összeget teszi a perselybe, ügyelve arra, hogy a legkevesebb számú érmét használja fel.
3) A sorsolás végeztével mindig felírja, hogy melyik érméből mennyit dobott a perselybe.
Az egyik sorsolás után, ahol 7 számot sorsoltak az első 35 pozitív egész közül, nagyi azt jegyezte fel, hogy 3 db 20, 6 db 10, 5 db 5, 9 db 2 és 3 db 1 forintos érmét dobott a perselybe. Mik voltak a kisorsolt számok?
(5 pont)
C. 656. Egy \(\displaystyle 21\,250\) Ft-os kabát árát leszállították egy engedményes vásár alkalmából. Majd a karácsonyi vásárban akciós áron még olcsóbb, \(\displaystyle 19\,176\) Ft lett. Hány százalékosak az engedmények, ha tudjuk, hogy mindkettő egyjegyű szám?
(5 pont)
C. 657. Egy kúp és egy henger magassága is és térfogata is egyenlő. Mekkora a kúp nyílásszöge, ha a két test palástjának felszíne is megegyezik?
(5 pont)
C. 658. Oldjuk meg az
\(\displaystyle \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} = \frac{1}{z}; \quad \frac{1}{x+15}+ \frac{1}{y-6} = \frac{1}{z}; \quad \frac{1}{x+24}+ \frac{1}{y-15} = \frac{1}{z} \)
egyenletrendszert.
(5 pont)
C. 659. A \(\displaystyle 0\leq t\leq \pi\) valós paraméter mely értékei esetén nincs megoldása a \(\displaystyle \sin\, (x+t)=1-\sin x\) egyenletnek?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. február 15-én LEJÁRT. |
B. 3512. Keressük meg a 81-nek azt a legkisebb többszörösét,
a) amelyik csak az 1
b) amelyik csak az 1 és a 0 számjegyeket tartalmazza.
(4 pont)
B. 3513. Két körvonal nincs egy síkban, és pontosan két közös pontjuk van. Mutassuk meg, hogy van olyan gömbfelület, amelyre illeszkednek.
(3 pont)
B. 3514. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságai \(\displaystyle AA_1\), \(\displaystyle BB_1\) és \(\displaystyle CC_1\), területe \(\displaystyle t\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög pontosan akkor szabályos, ha
\(\displaystyle AA_1\cdot AB+BB_1\cdot BC+CC_1\cdot CA=6t. \)
(3 pont)
B. 3515. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle \big[\sqrt 2\cdot n\big]\) alakú számok között végtelen sok 2-hatvány van.
(4 pont)
B. 3516. A füzetlapra rajzoltunk egy 5 cm-es zárt töröttvonalat. Mutassuk meg, hogy le tudjuk takarni egy 20 Ft-os érmével (az érme átmérője nagyobb, mint 2,5 cm).
(3 pont)
B. 3517. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle 71\mid 61!+1\).
(4 pont)
B. 3518. Igaz-e, hogy ha két tetraéder lapjai megfeleltethetők úgy, hogy az egymásnak megfeleltetett lapok egyenlő területűek, akkor a két tetraéder térfogata is egyenlő?
(4 pont)
B. 3519. Az \(\displaystyle OA_1A_2A_3\) tetraéder \(\displaystyle OA_i\) élén lévő, \(\displaystyle O\)-tól és \(\displaystyle A_i\)-től különböző \(\displaystyle B_i\) és \(\displaystyle C_i\) pontokra (\(\displaystyle i=1,2,3\)) teljesül, hogy az \(\displaystyle A_1A_2\), \(\displaystyle B_1B_2\) és \(\displaystyle C_1C_2\) egyenesek is, és az \(\displaystyle A_1A_3\), \(\displaystyle B_1B_3\) és \(\displaystyle C_1C_3\) egyenesek is egy ponton mennek át. Mutassuk meg, hogy ekkor az \(\displaystyle A_2A_3\), \(\displaystyle B_2B_3\) és \(\displaystyle C_2C_3\) egyenesek egy ponton mennek át vagy párhuzamosak.
(4 pont)
B. 3520. A valós számok közül bizonyosakat pirosra festünk, mégpedig úgy, hogy ha az \(\displaystyle x\) szám piros, akkor az \(\displaystyle x+1\) és \(\displaystyle {x\over x+1}\) számokat is pirosra festjük. Mely számok lesznek pirosak, ha kezdetben csak az 1 piros?
(5 pont)
B. 3521. Egy baktériumtörzs minden tagja egy óra leteltével vagy elpusztul vagy pedig kettéosztódik. Ha az osztódás valószínűsége \(\displaystyle p\), akkor mennyi a valószinűsége annak, hogy egy kiszemelt baktérium leszármazottai sosem halnak ki?
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. február 15-én LEJÁRT. |
A. 281. Adott a síkon véges sok pont úgy, hogy semelyik három nem esik egy egyenesre. Bizonyítsuk be, hogy a pontokat ki lehet színezni két színnel – pirossal és kékkel – úgy, hogy minden félsík, amelyik legalább három pontot tartalmaz, tartalmazzon piros és kék színű pontot is.
(5 pont)
A. 282. Léteznek-e olyan \(\displaystyle f\), \(\displaystyle g\) és \(\displaystyle h\) racionális törtfüggvények, amelyek minden együtthatója racionális szám, és amelyekre \(\displaystyle \big(f(x)\big)^3+\big(g(x)\big)^3+\big(h(x)\big)^3=x? \)
(5 pont)
A. 283. Legyen \(\displaystyle n\) egész szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle x^2+xy+y^2=n\) egyenletnek létezik racionális számokból álló megoldása, akkor létezik egész számokból álló megoldása is.
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)