A KöMaL 2002. februári matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. március 15-én LEJÁRT. |
C. 660. Hányféleképpen lehet a \(\displaystyle 8\times8\)-as sakktábla mezői közül két különbözőt kiválasztani úgy, hogy a középpontjukat összekötő szakasz felezőpontja is egy mező középpontjába essen?
(5 pont)
C. 661. Mi a feltétele annak, hogy egy \(\displaystyle 9\)-re és egy \(\displaystyle 7\)-re végződő egész szám szorzata \(\displaystyle 63\)-ra végződjön?
(5 pont)
C. 662. Egy téglatest térfogata \(\displaystyle 8~\rm cm^3\). Ha a téglatest minden élét \(\displaystyle 1\) centiméterrel megnöveljük, akkor egy \(\displaystyle 27~\rm cm^3\) térfogatú téglatestet kapunk. Mekkora térfogatú téglatestet kapunk, ha ismét megnöveljük az éleket \(\displaystyle 1\)-\(\displaystyle 1\) centiméterrel?
(5 pont)
C. 663. Egy hegyesszögű háromszög alakú papírlapnak leszakadt a legnagyobb szöget tartalmazó csúcsa. A papír megmaradt részén szerkesszük meg a háromszög köré írható kör sugarát.
(5 pont)
C. 664. Határozzuk meg az \(\displaystyle y=x^2+1\) és az \(\displaystyle x=y^2+1\) egyenletű parabolák az \(\displaystyle y=x\) egyenletű egyenessel párhuzamos érintőinek távolságát.
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. március 15-én LEJÁRT. |
B. 3522. Oldjuk meg az egész számok körében a
\(\displaystyle 2x^4+x^2y^2+5y^2=y^4+10x^2 \)
egyenletet.
(3 pont)
B. 3523. Adott egy félkör. Tekintsük azokat a háromszögeket, amelyek egyik oldala tartalmazza a félkör átmérőjét, másik két oldala pedig érinti a félkört. E háromszögek közül melyiknek legkisebb a területe?
(4 pont)
B. 3524. Az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számok összege \(\displaystyle 1\). Határozzuk meg \(\displaystyle xy^4+x^4y\) legnagyobb értékét.
(3 pont)
B. 3525. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle 1, 31, 331, 3331, \dots\) sorozatban végtelen sok összetett szám van.
(4 pont)
B. 3526. Az \(\displaystyle ABCD\) téglalap \(\displaystyle BC\) oldalának felezőpontja \(\displaystyle F\), \(\displaystyle CD\) oldalának a \(\displaystyle C\)-hez közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle H\). Milyen nagy lehet a \(\displaystyle HAF\) szög?
(4 pont)
B. 3527. Adott egy trapéz, melynek a szárai nem párhuzamosak. Szerkesszünk csak vonalzóval olyan egyenest, amelynek a trapéz szárai közé eső szakaszát a trapéz átlói harmadolják.
(5 pont)
B. 3528. Legyenek \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) olyan hegyesszögek, amelyekre \(\displaystyle \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta<1\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta<\sin^2 (\alpha +\beta). \)
(4 pont)
B. 3529. Egy mértani sorozat első néhány tagjának összege \(\displaystyle 11\), négyzetösszegük \(\displaystyle 341\), köbösszegük \(\displaystyle 3641\). Határozzuk meg a sorozat tagjait.
(5 pont)
B. 3530. Számítsuk ki \(\displaystyle {2002\choose 0}- {2001\choose 1}+ {2000\choose 2}- \dots- {1001\choose 1001}\) értékét.
(5 pont)
B. 3531. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle O\) középpontú beírt körének az oldalakon levő érintési pontjai (a szokásos jelölésekkel) \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle C_1\). Az \(\displaystyle A_1O\), \(\displaystyle B_1O\), \(\displaystyle C_1O\) egyenesek rendre az \(\displaystyle A_2\), \(\displaystyle B_2\), \(\displaystyle C_2\) pontokban metszik a \(\displaystyle B_1C_1\), \(\displaystyle C_1A_1\), \(\displaystyle A_1B_1\) szakaszokat. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle AA_2\), \(\displaystyle BB_2\) és \(\displaystyle CC_2\) egyenesek egy ponton mennek át.
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. március 15-én LEJÁRT. |
A. 284. Legyen \(\displaystyle f\) a véges \(\displaystyle S\) halmaz részhalmazain értelmezett függvény. Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle S\) tetszőleges \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) részhalmazaira
\(\displaystyle f(S\setminus A)=f(A) \quad\mbox{és}\quad \max\big(f(A),f(B)\big) \ge f(A\cup B), \)
akkor \(\displaystyle f\) legfeljebb \(\displaystyle |S|\) különböző értéket vesz fel.
(5 pont)
A. 285. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle a>b>c>d>0\) egész számokra
\(\displaystyle a^2+ac-c^2=b^2+bd-d^2, \)
akkor \(\displaystyle ab+cd\) összetett.
(5 pont)
A. 286. Határozzuk meg mindazokat az \(\displaystyle f\colon R\to R\) folytonos függvényeket, amelyekre \(\displaystyle 1+xy\ne0\) esetén
\(\displaystyle f\left(\frac{x+y}{1+xy}\right)= \frac{f(x)f(y)}{|1+xy|}. \)
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)