A KöMaL 2002. márciusi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. április 15-én LEJÁRT. |
C. 665. Mennyi az alábbi tört értéke, ha a számláló és a nevező ugyanannyi számjegyet tartalmaz?
\(\displaystyle {166\dots6 \over 66\dots 64} \)
(5 pont)
C. 666. Egy egész együtthatós másodfokú polinom minden egész helyen \(\displaystyle 3\)-mal osztható értéket vesz fel. Bizonyítsuk be, hogy a polinom mindhárom együtthatója osztható \(\displaystyle 3\)-mal.
(5 pont)
C. 667. Legyen
\(\displaystyle a =x+{1\over x}, \qquad b =y+{1\over y}, \qquad c =xy+{1\over xy}. \)
Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle a^2+b^2+c^2-abc\) kifejezés értéke nem függ \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\)-tól.
(5 pont)
C. 668. Adott az \(\displaystyle ABC\) egyenlő oldalú háromszög. Hol vannak azok a \(\displaystyle P\) pontok a háromszög síkjában, amelyekre \(\displaystyle PA^2=PB^2+PC^2\)?
(5 pont)
C. 669. Adott kerületű körcikkek közül melyiknek legnagyobb a területe?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. április 15-én LEJÁRT. |
B. 3532. Egy csodabogár a négyzethálós papírlapon sétál. Egy lépéssel jobbra mindig két mezőt, balra négyet, felfelé hármat, lefelé pedig ötöt tud lépni. Sétája során minden egyes lépés után pontosan \(\displaystyle 90^{\circ}\)-kal fordul el. Melyek azok a mezők, ahova a bogár sétája során eljut?
(3 pont)
B. 3533. Anna egy nagy rajzlapra felírt \(\displaystyle 32\) egész számot és mindegyiket letakarta egy-egy kártyalappal. Ezután odahívta Balázst azzal, hogy ha kiválaszt \(\displaystyle 7\) lapot, akkor elárulja neki, hogy az alattuk lévő számok összege páros-e vagy páratlan. Legalább hányszor kell Balázsnak választania, ha meg akarja tudni, hogy a rajzlapra felírt \(\displaystyle 32\) szám összege páros vagy páratlan?
(4 pont)
B. 3534. A futballpályán egy támadás során a csatár olyan törött vonal mentén futott, amelyet minden, a pálya valamelyik oldalával párhuzamos egyenes legfeljebb egyszer metsz. Igazoljuk, hogy a csatár nem futhatott többet a pálya két szomszédos oldalának összegénél.
(3 pont)
B. 3535. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) és \(\displaystyle AB\) oldalegyenesein lévő \(\displaystyle U\), \(\displaystyle V\), \(\displaystyle W\) pontokban az oldalakra állított merőlegesek pontosan akkor mennek át egy ponton, ha
\(\displaystyle AW^2+BU^2+CV^2=AV^2+CU^2+BW^2. \)
(3 pont)
B. 3536. Határozzuk meg
\(\displaystyle {x^2\over8}+x\cos x+\cos 2x \)
legkisebb értékét.
(4 pont)
B. 3537. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AC\) oldala a \(\displaystyle B\)-ből induló szögfelezőt \(\displaystyle D\)-ben, a \(\displaystyle B\)-ből induló magasságot \(\displaystyle H\)-ban metszi, a beírt kört pedig \(\displaystyle E\)-ben érinti. Az \(\displaystyle AC\) felezőpontja \(\displaystyle F\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle EF\) szakasz az \(\displaystyle FD\) és \(\displaystyle FH\) szakaszok mértani közepe.
(4 pont)
B. 3538. Keressünk olyan pozitív valós számot, ami \(\displaystyle 2501\)-szeresére nő, ha a tizedestört alakjában fölcseréljük a tizedesvessző utáni első és ötödik számjegyet.
(5 pont)
B. 3539. Egy ládában \(\displaystyle 8\) darab törékeny tárgy van. Közülük \(\displaystyle 1\) db \(\displaystyle 50\;000\) Ft, \(\displaystyle 3\) db \(\displaystyle 30\;000\) Ft és \(\displaystyle 4\) db \(\displaystyle 20\;000\) Ft értékű. A ládát szállítás során leejtik, a tárgyak egymástól függetlenül \(\displaystyle 1/2\) valószínűséggel törnek össze. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kár nem haladja meg a \(\displaystyle 100\;000\) Ft-ot?
(4 pont)
B. 3540. Milyen határok között változik a háromszögekben a magasságok négyzetösszegének és az oldalak négyzetösszegének az aránya?
(5 pont)
B. 3541. Legyen \(\displaystyle f(x)={ax+b\over cx+d}\). Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle f \big(f\big(f(1)\big)\big)=1\), és \(\displaystyle f\big(f\big(f(2)\big)\big)=3\), akkor \(\displaystyle f(1)=1\).
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. április 15-én LEJÁRT. |
A. 287. Egy lapra valaki rajzolt egy ellipszist, amelynek a nagytengelye kétszer olyan hosszú, mint a kistengelye. Az illető a tengelyek végpontjait is megjelölte. Adjunk meg olyan szerkesztési eljárást, amely körzőt és vonalzót, valamint az ellipszist felhasználva, bármely hegyesszöget három egyenlő részre oszt.
(5 pont)
A. 288. Legyen \(\displaystyle p\) egy tetszőleges \(\displaystyle n\)-edfokú polinom, ahol \(\displaystyle n\ge 1\). Bizonyítsuk be, hogy létezik legalább \(\displaystyle n+1\) olyan komplex szám, amelyre \(\displaystyle p\) értéke \(\displaystyle 0\) vagy \(\displaystyle 1\).
(5 pont)
A. 289. Bizonyítsuk be, hogy ha a pozitív valós számok halmazán értelmezett valós értékű \(\displaystyle f\) függvény minden pozitív \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) értékre eleget tesz az
\(\displaystyle f\left({x+y\over2}\right)+ f\left({2xy\over x+y}\right)= f(x)+f(y) \)
egyenletnek, akkor minden pozitív \(\displaystyle x,y\) számpárra
\(\displaystyle 2f\big(\sqrt{xy}\big)=f(x)+f(y). \)
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)