A KöMaL 2002. áprilisi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. május 15-én LEJÁRT. |
C. 670. Egy \(\displaystyle 3\times3\)-as táblázatba beírtuk az első kilenc pozitív egész számot, mindegyiket egyszer. Tegyük föl, hogy a három sorban balról jobbra, a három oszlopban fölülről lefelé, illetve a bal fölső csúcsból kiinduló átlón kiolvasható háromjegyű számok mindegyike osztható 11-gyel. Mekkora lehet a jobb fölső sarokból kiinduló átlón kiolvasható háromjegyű szám értéke?
(5 pont)
C. 671. Egy \(\displaystyle 36\) cm átmérőjű lábosba beleállítottunk egy \(\displaystyle 6\) cm és egy \(\displaystyle 12\) cm sugarú befőttesüveget. Legfeljebb mekkora sugarú befőttesüveg állítható be a többi mellé a lábosba?
(5 pont)
C. 672. Egy téglatest \(\displaystyle A\) csúcsából kiinduló éleinek hossza \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) egység. Ezen élek \(\displaystyle A\)-tól különböző végpontjai egy háromszöget határoznak meg. Milyen messze van az \(\displaystyle A\) pont a háromszög síkjától?
(5 pont)
C. 673. A \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 9\) számok közül kétszer választunk véletlenszerűen. (Ugyanazt a számot kétszer is kiválaszthatjuk.) Minek nagyobb a valószínűsége: annak, hogy a két szám összege, vagy annak, hogy a különbségük osztható \(\displaystyle 3\)-mal?
(5 pont)
C. 674. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:
\(\displaystyle {x\over20}=\left({5\over2}\right)^{\log_x 50}. \)
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. május 15-én LEJÁRT. |
B. 3542. Bizonyítsuk be, hogy ha egy \(\displaystyle 111\dots1\) alakú szám osztható \(\displaystyle 7\)-tel, akkor osztható \(\displaystyle 37\)-tel is.
(3 pont)
B. 3543. Egy négyzet alakú papírlapon egy négyzet alakú lyuk van. A lyuk mindegyik oldalát meghosszabbítottuk pozitív körüljárás szerinti irányban. Tegyük fel, hogy az így kapott félegyenesek a papírt négy négyszögre bontják az ábra szerint. Igazoljuk, hogy ebből a négy négyszögből másképpen is összeállítható egy négyzet, amelyben van egy négyzet alakú lyuk.
(4 pont)
B. 3544. Mutassuk meg, hogy a háromszög hozzáírt körei közt van olyan, amelynek a sugara legalább háromszorosa a beírt kör sugarának.
(3 pont)
B. 3545. Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle {n^2-n\over2} \leq \big\{\sqrt1\,\big\}+ \big\{\sqrt2\, \big\}+\ldots+ \big\{\sqrt {n^2}\,\big\}\leq {n^2-1\over2}, \)
ahol \(\displaystyle \{x\}\) az \(\displaystyle x\) törtrészét jelöli.
(4 pont)
B. 3546. Egy kockát egy síkkal metszve olyan \(\displaystyle ABCDEF\) hatszöget kapunk, amelynek \(\displaystyle AD\), \(\displaystyle BE\), \(\displaystyle CF\) átlói egy ponton haladnak át. Bizonyítsuk be, hogy a metsző sík áthalad a kocka középpontján.
(5 pont)
B. 3547. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle f\) függvényre
\(\displaystyle f(x+1)+f(x-1)=\sqrt2f(x) \)
minden valós \(\displaystyle x\)-re teljesül, akkor a függvény periodikus.
(4 pont)
B. 3548. Egy különböző pozitív egészekből álló végtelen számtani sorozat minden elemét elosztjuk a legnagyobb prímosztójával. Lehet-e az így kapott sorozat korlátos?
(4 pont)
B. 3549. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle x\) valós szám esetén
\(\displaystyle \cos\cos x\ge|\sin x|. \)
(4 pont)
B. 3550. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\)-ból és \(\displaystyle B\)-ből induló magasságvonalai az \(\displaystyle M\) pontban metszik egymást, a szemközti oldalakat pedig az \(\displaystyle A_1\) és a \(\displaystyle B_1\) pontokban. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle A_1B_1\) egyenes az \(\displaystyle AB\) oldalt \(\displaystyle D\)-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle DM\) egyenes merőleges a \(\displaystyle C\)-ből induló súlyvonalra.
(5 pont)
B. 3551. Legyenek az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) olyan pozitív egészek, melyekre
\(\displaystyle a^2+b^2+ab=c^2+d^2+cd. \)
Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle a+b+c+d\) összetett szám.
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. május 15-én LEJÁRT. |
A. 290. Adott véges sok négyzet alakú papírlap, amelyek területének összege \(\displaystyle 4\) egység. Bizonyítsuk be, hogy lefedhető velük egy egységnyi négyzet.
(5 pont)
A. 291. Oldjuk meg az
\(\displaystyle x = \sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}} \)
egyenletet.
(5 pont)
A. 292. Egy világvárosban \(\displaystyle n\) metróvonal van \(\displaystyle (n>4)\). Egy állomáson legfeljebb három metróvonal találkozik, és bármelyik két különböző metróvonalhoz létezik egy harmadik, amelyikre mindkettőről át lehet szállni.
Igazoljuk, hogy a városban legalább \(\displaystyle {5\over6}(n-5)\) metróállomás van.
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)