A KöMaL 2002. májusi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. június 15-én LEJÁRT. |
C. 675. Van-e olyan négyzetszám, amelynek utolsó két számjegye páratlan?
(5 pont)
C. 676. Az \(\displaystyle ABEF\) téglalap \(\displaystyle AB\) oldala \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle BE\) oldala \(\displaystyle 3\) egység. A \(\displaystyle BE\) oldal harmadolópontjai \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\). Mutassuk meg, hogy
\(\displaystyle BAC\sphericalangle +BAD\sphericalangle+BAE\sphericalangle=180^{\circ}. \)
(5 pont)
C. 677. Határozzuk meg az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egész számokat, ha \(\displaystyle a^4+{(a+b)}^4 +b^4\) négyzetszám.
(5 pont)
C. 678. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle AC=1\), \(\displaystyle ABC\sphericalangle=30^{\circ}\), \(\displaystyle BAC\sphericalangle=60^{\circ}\), a \(\displaystyle C\)-ből induló magasság talppontja \(\displaystyle D\). Milyen messze van egymástól az \(\displaystyle ACD\) és a \(\displaystyle BCD\) háromszögek beírt körének a középpontja?
(5 pont)
C. 679. Adott három egységsugarú gömb, melyek páronként érintik egymást és az \(\displaystyle S\) síkot. Határozzuk meg annak a gömbnek a sugarát, melynek középpontja az \(\displaystyle S\) síkon van és érinti a gömböket.
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. június 15-én LEJÁRT. |
B. 3552. Az \(\displaystyle a_1, a_2, \dots, a_{2n+1}\) sorozat minden tagja \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 5\) vagy \(\displaystyle 9\). Tudjuk, hogy a sorozat bármely két szomszédos tagja különböző és \(\displaystyle a_1=a_{2n+1}\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle a_1a_2-a_2a_3+a_3a_4-a_4a_5+\dots -a_{2n}a_{2n+1}=0\).
(3 pont)
B. 3553. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\) csúcsából induló magasság, \(\displaystyle B\) csúcsából induló szögfelező és \(\displaystyle C\) csúcsából induló súlyvonal a szemközti oldalakat rendre az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle C_1\) pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) háromszög szabályos, akkor az \(\displaystyle ABC\) háromszög is szabályos.
(4 pont)
B. 3554. Az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma átlói az \(\displaystyle M\) pontban metszik egymást. Az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle M\), \(\displaystyle B\) pontokon átmenő kör érinti a \(\displaystyle BC\) egyenest. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle M\), \(\displaystyle C\) pontokon átmenő kör érinti a \(\displaystyle CD\) egyenest.
(3 pont)
B. 3555. Egy \(\displaystyle 2n+1\)-tagú társaság bármely \(\displaystyle n\)-tagú csoportjához van a társaságnak olyan a csoporthoz nem tartozó tagja, aki a csoport minden tagját ismeri. Az ismeretséget kölcsönösnek tételezzük fel. Bizonyítsuk be, hogy a társaságnak van olyan tagja, aki mindenkit ismer.
(5 pont)
B. 3556. Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldala és a közös csúcsukból induló külső szögfelező.
(4 pont)
B. 3557. Kezdődhet-e egy köbszám tízes számrendszerbeli alakja \(\displaystyle 2002\) darab egyessel?
(4 pont)
B. 3558. Van-e olyan nem konstans egész együtthatós polinom, amelyik minden pozitív egész helyen \(\displaystyle 2\)-hatvány értéket vesz föl?
(4 pont)
B. 3559. Adottak a síkon az \(\displaystyle e_1, e_2, \dots, e_n\) egyenesek. Az \(\displaystyle e_1\) egyenes egy tetszőleges \(\displaystyle P_1\) pontjából merőlegest bocsátunk az \(\displaystyle e_2\)-re, ennek talppontja \(\displaystyle P_2\). Ezután a \(\displaystyle P_2\)-ből \(\displaystyle e_3\)-ra bocsátott merőleges talppontja \(\displaystyle P_3\), és így tovább, végül az \(\displaystyle e_n\) egyenesen kapott \(\displaystyle P_n\) pontból az \(\displaystyle e_1\)-re bocsátott merőleges talppontja \(\displaystyle P_{n+1}\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle e_1\) egyenesnek van olyan \(\displaystyle P_1\) pontja, hogy az így kapott \(\displaystyle P_{n+1}\) egybeesik \(\displaystyle P_1\)-gyel.
(4 pont)
B. 3560. Bizonyítsuk be, hogy bárhogyan is hagyunk el az első \(\displaystyle 2002\) pozitív egész szám közül \(\displaystyle 89\) darabot, a megmaradó számok között van \(\displaystyle 20\) olyan, amelyeknek az összege is a megmaradt számok között van.
(5 pont)
B. 3561. Egy konvex poliéder minden csúcsából pontosan három él indul ki. Egy lap kivételével a poliéder minden lapjáról tudjuk, hogy van körülírt köre. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a poliéder valamennyi lapjának van körülírt köre.
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. június 15-én LEJÁRT. |
A. 293. Mutassuk meg, hogy tetszőleges \(\displaystyle m\ge 2\) egészhez léteznek olyan \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egészek, amelyek \(\displaystyle m\)-es számrendszerben felírt alakja együttesen minden számjegyből pontosan annyit tartalmaz, mint az \(\displaystyle a\cdot b\) szám \(\displaystyle m\)-es számrendszerbeli alakja.
(5 pont)
A. 294. Definiáljuk az \(\displaystyle a_1,a_2,\dots\) sorozatot a következő rekurzióval: \(\displaystyle a_1=1\), \(\displaystyle a_{n+1}={a_1a_n+a_2a_{n-1}+\dots+a_na_1\over n+1}\). Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle b_n=\root {n}\of {a_n}\) sorozat konvergens.
(5 pont)
A. 295. Az \(\displaystyle x_1,x_2\dots,x_n\) pozitív számokra teljesül, hogy
\(\displaystyle {1\over1+x_1}+{1\over1+x_2}+\dots+{1\over1+x_n}=1. \)
Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\dots+\sqrt{x_n}\ge(n-1) \left({1\over\sqrt{x_1}}+ {1\over\sqrt{x_2}}+\dots+ {1\over\sqrt{x_n}}\right). \)
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)