A KöMaL 2002. szeptemberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. október 15-én LEJÁRT. |
C. 680. Egy kilenctagú választó testület három jelölt közül választ. Mindegyikük rangsorolja őket, az elsőnek \(\displaystyle 3\), a másodiknak \(\displaystyle 2\), a harmadiknak pedig \(\displaystyle 1\) pontot ad. Összesítve a jelöltek pontszámát kiderült, hogy a sorrend egyértelmű, hármuk pontszáma különböző. A testület egyik tagja észrevette, hogy ha a választást úgy bonyolították volna le, hogy mind a kilencen csak egy jelöltet választanak ki és annak adnak \(\displaystyle 1\) pontot, akkor a jelöltek sorrendje megfordulna. Hány pontot kaptak eredetileg a jelöltek?
(5 pont)
C. 681. Az ábrán látható három emeletes ,,piramist'' \(\displaystyle 1~{\rm cm}^3\)-es kockákból építettük, felszíne \(\displaystyle 42~{\rm cm}^2\). Ennek mintájára készítettünk egy nagyobb ,,piramist'' is, amelynek \(\displaystyle 2352~{\rm cm}^2\) a felszíne. Hány emeletes?
(5 pont)
C. 682. A \(\displaystyle 2002\)-es adóbevallásnál azoknak, akiknek az éves bruttó jövedelme \(\displaystyle 1\,050\,000\) forintnál több volt, a többlet \(\displaystyle 40\%\)-án kívül \(\displaystyle 267\,000\) forintot kellett adóként befizetni. Mekkora havi bruttó jövedelem esetén lett a jövedelem \(\displaystyle 30\%\)-a az adó?
(5 pont)
C. 683. Az \(\displaystyle ABC\) egyenlő szárú derékszögű háromszögben \(\displaystyle AC=BC\). Az \(\displaystyle A\) csúcsból induló szögfelező a \(\displaystyle BC\) befogót a \(\displaystyle P\) pontban metszi. Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle PB\) szakasz hossza egyenlő az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének átmérőjével.
(5 pont)
C. 684. Oldjuk meg az
$$\begin{align*} x-xy+y&=1\\ x^2+y^2&=17 \end{align*}$$egyenletrendszert.
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. október 15-én LEJÁRT. |
B. 3562. Egy nyolcéves kislány konvex hétszög alapú tortát kapott a születésnapjára. A tortát a hétszög átlói mentén függőleges vágásokkal szeletelték föl. Az ünnepelt nyolcszög alapú szeletet szeretne kapni. Teljesülhet-e a kívánsága?
(3 pont)
B. 3563. Legalább mekkora \(\displaystyle t\) érték esetén teljesül minden nemnegatív \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számra a \(\displaystyle \sqrt{xy}\leq t(2x+3y) \) egyenlőtlenség?
(3 pont)
B. 3564. Vigyük át az \(\displaystyle (x,y)\) koordináta-sík \(\displaystyle A(0;1)\) pontját a \(\displaystyle B(3;2)\) pontba az \(\displaystyle x\)-tengelyre való tükrözések és az \(\displaystyle A\) pont körüli elforgatások alkalmazásával.
(4 pont)
B. 3565. Adott \(\displaystyle 2002\) doboz, mindegyikükben néhány kavics. Ezen kívül korlátlan számú kavics áll rendelkezésünkre. Egy lépésben bármely \(\displaystyle k\) dobozba betehetünk \(\displaystyle 1\)-\(\displaystyle 1\) kavicsot. Elérhető-e, hogy bizonyos számú lépés után minden egyes dobozban ugyanannyi kavics legyen, ha
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle k=8\)
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle k=9\)?
(4 pont)
B. 3566. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögről tudjuk, hogy minden \(\displaystyle P\) belső pontjára a \(\displaystyle PA\), \(\displaystyle PB\) és \(\displaystyle PC\) szakaszokból háromszög szerkeszthető. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög szabályos.
(4 pont)
B. 3567. Egy konvex ötszögről tudjuk, hogy minden oldala párhuzamos valamelyik átlójával. Mekkora lehet egy oldal és a vele párhuzamos átló hosszának aránya?
(5 pont)
B. 3568. Mely \(\displaystyle \alpha\) szögetre igaz, hogy minden \(\displaystyle k\) nemnegatív egészre \(\displaystyle \cos 2^k\alpha\leq0\).
(5 pont)
B. 3569. \(\displaystyle 100\) kockáról tudjuk, hogy bármelyik kettőnek van közös belső pontja, és a kockák élei három adott egyenes valamelyikével párhuzamosak. Mutassuk meg, hogy ekkor az összes kockának van közös pontja.
Adjunk meg \(\displaystyle 100\) kockát úgy, hogy közülük bármely háromnak legyen közös belső pontja, de ne legyen olyan pont, amelyik mindegyik kockában benne van.
(5 pont)
B. 3570. A folytonos \(\displaystyle f\) függvényre teljesül, hogy \(\displaystyle f(1000)=999\) és \(\displaystyle f(x)\cdot f\big(f(x)\big)=1\) minden valós \(\displaystyle x\) számra. Határozzuk meg \(\displaystyle f(500)\) értékét.
(4 pont)
B. 3571. Egy egyenes csonkakúp alakú poharat körbegurítottunk egy kör alakú asztalon úgy, hogy mozgás közben sosem érte el az asztal
peremét. Az asztal átmérője \(\displaystyle 1{,}6~\rm m\). A pohár alja \(\displaystyle 5~\rm cm\), a teteje pedig \(\displaystyle 6{,}5~\rm cm\) átmérőjű kör. Milyen magas lehet a pohár?
(4 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. október 15-én LEJÁRT. |
A. 296. András gondolt egy \(\displaystyle 16\)-nál nem nagyobb pozitív egészre. Béla feltehet \(\displaystyle 7\) eldöntendő kérdést, amelyre András igennel vagy nemmel válaszolhat, és egyszer rossz választ is adhat. Segítsünk Bélának kitalálni a gondolt számot.
(5 pont)
A. 297. Legyenek \(\displaystyle a_0,a_1,a_2,\dots\) pozitív egészek úgy, hogy \(\displaystyle a_0=1\), \(\displaystyle a_1>1\) és
\(\displaystyle a_{n+1}= \frac{a_1\cdot\ldots\cdot a_n}{a_{[n/2]}}+1 \)
teljesül minden \(\displaystyle n=1,2,\dots\) esetén. (\(\displaystyle [x]\) jelöli az \(\displaystyle x\) egész részét.) Mutassuk meg, hogy a
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_{n+1}a_{[n/2]}} \)
sor összege egy racionális szám.
(5 pont)
A. 298. Egy gömbháromszög szögei \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), \(\displaystyle \gamma\), a velük szemközti oldalívek hossza \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), illetve \(\displaystyle c\). Igazoljuk, hogy
\(\displaystyle a\cdot\cos\beta+b\cdot\cos\alpha<c. \)
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)