A KöMaL 2002. októberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. november 15-én LEJÁRT. |
C. 685. Hány liter egy \(\displaystyle 1000~\rm m^2\) felszínű, \(\displaystyle 1000~\rm km\) magas henger térfogata?
(5 pont)
C. 686. Egy unalmas órán Anna azzal múlatja az időt, hogy egész számokat ír egymás alá. Egy adott számból kiindulva a következő sorban vagy az előző szám jegyeinek az összegét, vagy pedig a szorzatukat írja. Ezzel a módszerrel folytatva az eljárást észrevette, hogy minden egyes felírt szám páratlan. Hány olyan legfeljebb hatjegyű kezdőérték van, amelyre teljesül, hogy minden egyes felírt szám páratlan?
(5 pont)
C. 687. Egy négyszög csúcspontjainak koordinátái \(\displaystyle A(0;0)\), \(\displaystyle B(16;0)\), \(\displaystyle C(8;8)\), \(\displaystyle D(0,8)\). Írjuk fel annak az \(\displaystyle AC\)-vel párhuzamos egyenesnek az egyenletét, amelyik felezi a négyszög területét.
(5 pont)
C. 688. Oldjuk meg az \(\displaystyle [x/2]+[x/4]=x\) egyenletet. (\(\displaystyle [x]\), az \(\displaystyle x\) egész része az \(\displaystyle x\)-nél nem nagyobb egészek legnagyobbika.)
(5 pont)
C. 689. Oldjuk meg az \(\displaystyle x^{\log_2(16x^2)} -4x^{\log_2(4x)+1} -16x^{\log_2(4x)+2} + 64 x^3 = 0\) egyenletet.
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. november 15-én LEJÁRT. |
B. 3572. Oldjuk meg az \(\displaystyle [x/2]+[x/4]=[x]\) egyenletet. (\(\displaystyle [x]\), az \(\displaystyle x\) egész része az \(\displaystyle x\)-nél nem nagyobb egészek legnagyobbika.)
(3 pont)
B. 3573. Adott az \(\displaystyle AB\) szakasz, annak \(\displaystyle F\) felezőpontja, valamint a \(\displaystyle P\) pont. Szerkesszünk \(\displaystyle P\)-n át \(\displaystyle AB\)-vel párhuzamos egyenest egyetlen vonalzó segítségével.
(4 pont)
B. 3574. A \(\displaystyle k_1\) kör a \(\displaystyle P\) pontban belülről érinti a \(\displaystyle k_2\) kört. A nagyobbik kör \(\displaystyle AB\) húrja a kisebbik kört a \(\displaystyle C\) pontban érinti, \(\displaystyle AP\) és \(\displaystyle BP\) pedig a \(\displaystyle D\) és az \(\displaystyle E\) pontban metszi a kisebbik kört. Tudjuk, hogy \(\displaystyle AB=84\), \(\displaystyle PD=11\), végül \(\displaystyle PE=10\). Mekkora az \(\displaystyle AC\) hossza?
(4 pont)
B. 3575. Jelölje \(\displaystyle X\) azoknak a pozitív egészeknek a halmazát, amelyek tízes számrendszerbeli alakjában előfordulnak különböző számjegyek. Ha \(\displaystyle n\in X\), akkor jelöljük \(\displaystyle A_n\)-nel azoknak a számoknak a halmazát, amelyeket az \(\displaystyle n\) jegyeinek az átrendezésével kapunk, \(\displaystyle d_n\)-nel pedig az \(\displaystyle A_n\) elemeinek a legnagyobb közös osztóját. Mi a \(\displaystyle d_n\) legnagyobb értéke?
(4 pont)
B. 3576. A \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\) számjegyekből véletlen sorozatot készítünk. Milyen hosszú sorozatok esetén lesz legalább \(\displaystyle 61\%\) annak a valószínűsége, hogy a sorozatban mindhárom számjegy előfordul?
(4 pont)
B. 3577. Oldjuk meg a \(\displaystyle \sin 3x + 3 \cos x = 2 \sin 2x (\sin x + \cos x)\) egyenletet.
(4 pont)
B. 3578. Az ábrán látható kocka \(\displaystyle ABCD\) lapjának középpontja \(\displaystyle M\). Keressük meg az \(\displaystyle AB\) és az \(\displaystyle EM\) egyenesen a \(\displaystyle P\) illetve a \(\displaystyle Q\) pontokat úgy, hogy a \(\displaystyle PQ\) távolság egyenlő legyen az \(\displaystyle AB\) és az \(\displaystyle EM\) egyenesek távolságával.
(3 pont)
B. 3579. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:
\(\displaystyle x=\sqrt{-3+4\sqrt{-3+4\sqrt{-3+4x}}}. \)
(5 pont)
B. 3580. Tekintsük azokat a tompaszögű háromszögeket, amelyek tompaszöge az egyik hegyesszögük kétszerese, és oldalaiknak hossza egész szám. Melyiküknek a legkisebb a kerülete?
(4 pont)
B. 3581. Mennyi az
\(\displaystyle f(x)=\big|1001+1000x+999x^2+\dots+2x^{999}+x^{1000}\big| \)
függvény legkisebb értéke?
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. november 15-én LEJÁRT. |
A. 299. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet belsejében \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) olyan pontok, amelyekre
\(\displaystyle PAQ\sphericalangle =PCQ\sphericalangle =45^\circ. \)
Fejezzük ki a \(\displaystyle PQ\) szakasz hosszát a \(\displaystyle BP\) és \(\displaystyle DQ\) szakaszok hosszával!
(5 pont)
A. 300. Adjuk meg mindazokat az egészekből álló \(\displaystyle (a,b)\) számpárokat, amelyekre \(\displaystyle a^2+ab+b^2\) osztható \(\displaystyle 7^5\)-nel.
(5 pont)
A. 301. Legyen \(\displaystyle a_0,a_1,\dots\) nemnegatív számokból álló sorozat, amelyre tetszőleges \(\displaystyle k,m\ge0\) esetén
\(\displaystyle a_{k+m}\le a_{k+m+1}+a_ka_m. \)
Tegyük fel, hogy elég nagy \(\displaystyle n\) esetén \(\displaystyle na_n<0{,}2499\). Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan \(\displaystyle 0<q<1\) szám, amelyre elég nagy \(\displaystyle n\) esetén
\(\displaystyle a_n<q^n. \)
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)