A KöMaL 2002. novemberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. december 15-én LEJÁRT. |
C. 690. Lehet-e három egész élhosszúságú kocka térfogatának az összege \(\displaystyle 2002\) egység?
(5 pont)
C. 691. Hány \(\displaystyle \rm mm^2\) Magyarország területe egy \(\displaystyle 25~\rm cm\) átmérőjű földgömbön?
(5 pont)
C. 692. Az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) valós számokra teljesül, hogy
$$\begin{align*} x+2y+4z &\geq 3 \qquad\text{és}\\ y-3x+2z &\geq 5. \end{align*}$$Igazoljuk, hogy ekkor \(\displaystyle y-x+2z\geq3\).
(5 pont)
C. 693. Mekkora lehet egy olyan egyenlő szárú háromszög szárszöge, amelynek magasságaiból mint oldalakból háromszög szerkeszthető?
(5 pont)
C. 694. Mekkora az \(\displaystyle [\log_21]+[\log_22]+[\log_23]+\cdots+[\log_22002]\) összeg értéke?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. december 15-én LEJÁRT. |
B. 3582. Oldjuk meg a természetes számok körében a
\(\displaystyle 3xyz-5yz+3x+3z=5\)
egyenletet.
(3 pont)
B. 3583. Egy \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontját összekötöttük a háromszög csúcsaival. Az így kapott háromszögek közül az egyik hasonló az \(\displaystyle ABC\) háromszöghöz. Mekkorák az \(\displaystyle ABC\) háromszög szögei?
(3 pont)
B. 3584. Írjuk le az egész számokat egyesével \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 10^{n-1}\)-ig, és legyen az eközben leírt számjegyek száma \(\displaystyle A\). Ezek után ismét írjuk le az egész számokat egyesével, ezúttal \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 10^n\)-ig, és legyen az így leírt nullák száma \(\displaystyle B\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle A=B\).
(4 pont)
B. 3585. Határozzuk meg az \(\displaystyle a\) paraméter azon értékeit, amelyekre az
\(\displaystyle \sqrt{1+x^4}>1-2ax+x^2 \)
egyenlőtlenség minden pozitív \(\displaystyle x\)-re teljesül.
(3 pont)
B. 3586. Az \(\displaystyle a\) paraméter mely értékeire van a \(\displaystyle \lg\, (ax) =2\lg\, (x+1)\) egyenletnek pontosan egy megoldása?
(4 pont)
B. 3587. Adott gömb köré négyzet alapú, egyenes csonkagúlát írunk. Mekkora lehet a csonkagúla térfogatának és felszínének az aránya?
(4 pont)
B. 3588. Adott egy kör és a belsejében az \(\displaystyle M\) pont. Egy \(\displaystyle M\) csúcsú derékszög szárai a kört az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokban metszik. Mi az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontjának mértani helye, ha a derékszög körbefordul az \(\displaystyle M\) pont körül?
(4 pont)
B. 3589. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan n páratlan pozitív egész szám létezik, amelyre \(\displaystyle 2^n+n\) összetett szám.
(4 pont)
B. 3590. Az \(\displaystyle x^3-10x+11=0\) egyenlet gyökei \(\displaystyle u\), \(\displaystyle v\) és \(\displaystyle w\). Határozzuk meg az
\(\displaystyle \mathop{\rm arctg} u +\mathop{\rm arctg} v+\mathop{\rm arctg} w \)
értékét.
(5 pont)
B. 3591. A konvex \(\displaystyle ABCD\) négyszög területe \(\displaystyle T\), egy belső pontja \(\displaystyle P\). A \(\displaystyle P\)-n keresztül \(\displaystyle BC\)-vel húzott párhuzamos egyenes a \(\displaystyle BA\) oldalt az \(\displaystyle E\), az \(\displaystyle AB\)-vel húzott párhuzamos egyenes a \(\displaystyle BC\) oldalt az \(\displaystyle F\), az \(\displaystyle AD\)-vel húzott párhuzamos egyenes a \(\displaystyle CD\) oldalt a \(\displaystyle G\) pontban, a \(\displaystyle CD\)-vel húzott párhuzamos egyenes az \(\displaystyle AD\) oldalt a \(\displaystyle H\) pontban metszi. Jelölje az \(\displaystyle AEPH\) négyszög területét \(\displaystyle t_1\), a \(\displaystyle PFCG\) négyszög területét \(\displaystyle t_2\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle \sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}\leq\sqrt{T}\).
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2002. december 15-én LEJÁRT. |
A. 302. Adott a síkon az egységnyi oldalú \(\displaystyle ABCD\) négyzet és a \(\displaystyle P\) pont. Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle 3 AP+5 CP+ \sqrt5(BP+DP)\ge6\sqrt2. \)
(5 pont)
A. 303. A nemnegatív \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) számokra teljesül, hogy \(\displaystyle x^3+y^4\leq x^2+y^3\). Igazoljuk, hogy
\(\displaystyle x^3+y^3\leq2. \)
(5 pont)
A. 304. Melyek azok az \(\displaystyle R^+\mapsto R^+\) függvények, amelyekre
\(\displaystyle f(x+y)+f(x)\cdot f(y)=f(xy)+f(x)+f(y)? \)
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)