A KöMaL 2002. decemberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. január 15-én LEJÁRT. |
C. 695. Egy hatjegyű számot csökkentünk a számjegyeinek összegével, majd az így kapott számmal ugyanezt folytatjuk. Eljuthatunk-e így a \(\displaystyle 2002\)-höz?
(5 pont)
C. 696. Oldjuk meg az
\(\displaystyle |x+3|+p|x-2|=5 \)
egyenletet, ahol a \(\displaystyle p\) valós paraméter.
(5 pont)
C. 697. Az \(\displaystyle ABCD\) négyszögben \(\displaystyle AB=1\), \(\displaystyle BC=2\), \(\displaystyle CD=\sqrt{3}\), \(\displaystyle ABC\sphericalangle=120^{\circ}\), végül \(\displaystyle BCD\sphericalangle=90^{\circ}\). Mekkora az \(\displaystyle AD\) oldal hosszának pontos értéke?
(5 pont)
C. 698. Egy háromszögben az \(\displaystyle AB\) oldal hossza \(\displaystyle 10~\rm cm\), az \(\displaystyle AC\) oldal hossza \(\displaystyle 5{,}1~\rm cm\), \(\displaystyle CAB\sphericalangle=58^{\circ}\). Határozzuk meg a \(\displaystyle BCA\sphericalangle\)-et \(\displaystyle 1\) századfok pontossággal.
(5 pont)
C. 699. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az 5-ös lottó sorsolásakor legalább egy olyan számot is kihúznak, amely az előző heti nyertes számok között szerepelt?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. január 15-én LEJÁRT. |
B. 3592. Mikulás az eget kémleli. Másnap, a névnapján a lehető legmesszebbre szeretne eljutni, hogy ajándékot vigyen a gyerekeknek. Éjfélkor végre elkezd havazni. Mikulás a havazásnak igazán nagy szakértője. Rögtön látja, hogy ez az a fajta havazás, amely 24 órán át szakadatlanul tart. A havazás első 16 órájában a szánnal egyre gyorsabban lehet haladni. (A sebesség úgyszólván egyenletesen és folyamatosan növelhető.) A havazás kezdetén a szánt meg sem lehet mozdítani, de a 16. óra végén már repülhet, mint a szélvész. Csakhogy ezt követően a vastagodó hó egyre nagyobb akadályt jelent és az elért sebesség 8 óra alatt egyenletesen csökken egészen a nulláig. A szánt húzó rénszarvasokat Mikulás nem akarja 8 óránál tovább fárasztani. Mikor induljon el Mikulás, ha a lehető leghosszabb utat akarja megtenni?
(4 pont)
B. 3593. Van-e olyan csupa különböző pozitív egész számból álló számtani sorozat, amelynek egyik tagja sem osztható \(\displaystyle 1\)-nél nagyobb négyzetszámmal?
(3 pont)
B. 3594. Van-e olyan négyzetszám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában a számjegyek összege \(\displaystyle 2002\)?
(4 pont)
B. 3595. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:
\(\displaystyle 2x^4+2y^4-4x^3y+6x^2y^2-4xy^3+7y^2+7z^2-14yz-70y+70z+175=0. \)
(3 pont)
B. 3596. Az \(\displaystyle R\) sugarú \(\displaystyle k_1\) kört a \(\displaystyle 2R\) sugarú \(\displaystyle k_2\) kör az \(\displaystyle E_3\) pontban kívülről érinti, a \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) köröket pedig ugyancsak kívülről érinti a \(\displaystyle 3R\) sugarú \(\displaystyle k_3\) kör. A \(\displaystyle k_2\) és \(\displaystyle k_3\) körök érintési pontja \(\displaystyle E_1\), a \(\displaystyle k_3\) és \(\displaystyle k_1\) körök érintési pontja pedig \(\displaystyle E_2\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle E_1E_2E_3\) háromszög körülírt köre egybevágó a \(\displaystyle k_1\) körrel.
(3 pont)
B. 3597. Igaz-e, hogy ha egy trapézhoz létezik olyan, az alapjaival párhuzamos egyenes, ami a kerületét és a területét is felezi, akkor a trapéz paralelogramma?
(4 pont)
B. 3598. Adott \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle BC\) oldalaira kifelé egyenlő szárú, \(\displaystyle 140^{\circ}\) szárszögű háromszögeket rajzolunk. Ezek csúcsaiként kapjuk az \(\displaystyle A_1\) és a \(\displaystyle C_1\) pontokat. Ezután az \(\displaystyle AC\) oldalra is kifelé megrajzoljuk az ugyancsak egyenlő szárú, \(\displaystyle 80^{\circ}\) szárszögű \(\displaystyle AB_1C\) háromszöget. Mekkora a \(\displaystyle C_1B_1A_1\sphericalangle\)?
(4 pont)
B. 3599. Egy gömb köré egyenes csonkakúpot írunk. Milyen nagy lehet a csonkakúp térfogatának és felszínének aránya?
(4 pont)
B. 3600. Adjunk meg a térbeli koordinátarendszerben olyan rácskockát, amelynek az élei nem párhuzamosak a koordinátatengelyekkel és a kocka élhossza egész szám.
(5 pont)
B. 3601. Anna és Zsófi felváltva dob egy dobókockával, és a dobott számot mindig hozzáadják az eddig dobott számok összegéhez. Az nyer, akinek a dobása után először lesz az összeg \(\displaystyle 4\)-gyel osztható. Ha Anna kezd, mennyi a valószínűsége, hogy nyer?
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. január 15-én LEJÁRT. |
A. 305. Igazoljuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle n\) pozitív egészre
\(\displaystyle \sum_{\textstyle{k_1,\dots,k_n\geq 0\atop k_1+2k_2+\dots+nk_n=n}} \frac{(k_1+k_2+\dots+k_n)!}{k_1!\cdot\ldots\cdot k_n!}=2^{n-1}. \)
(5 pont)
A. 306. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságpontja \(\displaystyle M\), beírt köre az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) oldalakat a \(\displaystyle P\), illetve \(\displaystyle Q\) pontokban érinti, középpontja \(\displaystyle O\). Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle PQ\) egyenesre esik, akkor az \(\displaystyle MO\) egyenes átmegy az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontján.
(5 pont)
A. 307. Jelöljük \(\displaystyle a_n\)-nel az \(\displaystyle {(x^2+x+1)}^n\) polinomban az \(\displaystyle x^n\) együtthatóját. Igazoljuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle p>3\) prímszám esetén \(\displaystyle a_p\equiv 1\pmod{p^2}\).
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)