A KöMaL 2003. januári matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. február 15-én LEJÁRT. |
C. 700. Papírból kivágunk egy négyszög alakú lapot, ráírjuk üdvözlő sorainkat, majd sarkainál behajtjuk úgy, hogy a csúcsok egy közös pontba kerüljenek. Milyen négyszöget vágjunk ki, hogy a behajtott részek hézagmentesen és egymás átfedése nélkül takarják a négyszög többi részét?
(5 pont)
C. 701. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle 1\cdot 2 \cdot\ldots \cdot 1001+ 1002 \cdot 1003\cdot \ldots \cdot 2002\) osztható \(\displaystyle 2003\)-mal.
(5 pont)
C. 702. Egy derékszögű háromszög hegyesszögei \(\displaystyle 60^{\circ}\) és \(\displaystyle 30^{\circ}\). A háromszögbe két egyenlő sugarú kört írunk, amelyek érintik az átfogót, egymást és egy-egy befogót. Hányszorosa a kisebbik befogó a körök sugarának?
(5 pont)
C. 703. A \(\displaystyle p\) valós paraméter értékétől függően hány gyöke van a
\(\displaystyle 2x^2-10px+7p-1=0 \)
egyenletnek a \(\displaystyle (-1;1)\) intervallumban?
(5 pont)
C. 704. Mely \(\displaystyle n\) természetes számokra igaz, hogy
\(\displaystyle \log_23 \cdot \log_34 \cdot \log_45 \cdot \ldots \cdot \log_n(n+1)=10? \)
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. február 15-én LEJÁRT. |
B. 3602. A négyzet alakú medencében úszkáló Jerry el szeretne menekülni a parton rá leső Tom elől. Tom nem tud úszni, lassabban fut, mint Jerry, viszont négyszer olyan gyorsan fut, mint ahogy Jerry úszik. Megmenekülhet-e mindig Jerry?
(5 pont)
B. 3603. Szerkesszünk adott háromszög belsejében olyan pontot, melynek a háromszög oldalegyeneseitől való távolságainak aránya \(\displaystyle 1:2:3\).
(3 pont)
B. 3604. Az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számokra teljesül, hogy \(\displaystyle x+y=1\). Határozzuk meg az \(\displaystyle A(x,y)=x^4y+ xy^4+ x^3y+ xy^3+ x^2y+ xy^2\) kifejezés legnagyobb értékét.
(3 pont)
B. 3605. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle CA\) oldalának \(\displaystyle A\)-n túli meghosszabbításán adott a \(\displaystyle D\) pont, a \(\displaystyle CB\) oldalának \(\displaystyle B\)-n túli meghosszabbításán pedig az \(\displaystyle E\) pont úgy, hogy \(\displaystyle AB=AD=BE\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\)-ból és \(\displaystyle B\)-ből induló szögfelezői a szemközti oldalakat az \(\displaystyle A_1\) illetve a \(\displaystyle B_1\) pontokban metszik. Mekkora az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe, ha a \(\displaystyle DCE\) háromszög területe \(\displaystyle 9\) egység, az \(\displaystyle A_1CB_1\) háromszög területe pedig \(\displaystyle 4\) egység?
(3 pont)
B. 3606. Adjunk meg olyan \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egész számokat, amelyekre teljesül, hogy \(\displaystyle 2003<a+b\sqrt2<2003{,}01\).
(3 pont)
B. 3607. Egy konvex négyszög szemközti oldalegyenesei metszik egymást. Megrajzoljuk a metszéspontoknál keletkezett szögek belső szögfelezőit. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha e két szögfelező merőleges egymásra, és ebben az esetben a szögfelezők a négyszög oldalait egy rombusz csúcsaiban metszik.
(4 pont)
B. 3608. Adjuk meg azoknak az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számoknak a tízes számrendszerbeli alakját, amelyekre az \(\displaystyle x^3+ax^2+bx+c=0\) egyenlet gyökei rendre egyenlők az \(\displaystyle x^3-3x+1=0\) egyenlet három gyökének az ötödik hatványával.
(4 pont)
B. 3609. Van-e olyan \(\displaystyle f(x)\) egész együtthatós 2003-ad fokú polinom, amelyre bármely \(\displaystyle n\) egész szám esetén az
\(\displaystyle f(n), f\big(f(n)\big), f\big(f\big(f(n)\big)\!\big),\dots \)
értékek páronként relatív prímek?
(5 pont)
B. 3610. Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle \sin 25^{\circ}\cdot\sin 35^{\circ}\cdot\sin 60^{\circ}\cdot\sin 85^{\circ}= \sin 20^{\circ}\cdot\sin 40^{\circ}\cdot\sin 75^{\circ}\cdot\sin 80^{\circ}. \)
(5 pont)
B. 3611. Az \(\displaystyle x_{n+1}=x_n^2-x_n+1\) rekurzióval definiált sorozat elemeiből készítsük el a \(\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{x_i}\) végtelen sort. Mennyi ennek a sornak az összege, ha \(\displaystyle a)\) \(\displaystyle x_1=1/2\); \(\displaystyle b)\) \(\displaystyle x_1=2\)?
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. február 15-én LEJÁRT. |
A. 308. Az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) pontok úgy helyezkednek el a síkban, hogy \(\displaystyle AB=BC=CD=DA=1\), és \(\displaystyle AE\), \(\displaystyle BE\), \(\displaystyle CE\) és \(\displaystyle DE\) mindegyike legfeljebb \(\displaystyle 1\). Legfeljebb mekkora lehet \(\displaystyle AE+BE+CE+DE+AC+BD\)?
(5 pont)
A. 309. Egy \(\displaystyle n\) csúcsú egyszerű gráfban a csúcsok fokszámai rendre \(\displaystyle 0<d_1\le \dots\le d_n\). Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható legalább \(\displaystyle \sum \frac{2}{d_i+1}\) csúcs úgy, hogy az általuk kifeszített részgráfban nincs kör.
(5 pont)
A. 310. Legyen tetszőleges \(\displaystyle n\) pozitív egészre
\(\displaystyle s_n(x)=\sum_{d\mid n} \frac{n}{d}x^d, \)
és definiáljuk a \(\displaystyle p_0,p_1,\dots\) polinomokat a következő rekurzióval: \(\displaystyle p_0(x)=1\),
\(\displaystyle p_n= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^ns_k(x)p_{n-k}(x). \)
Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle p_n\) polinom mindegyik együtthatója egész szám.
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)