A KöMaL 2003. februári matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. március 15-én LEJÁRT. |
C. 705. Egy könyv oldalszámozása az ötödik oldalon kezdődik. Ezen az oldalon az \(\displaystyle 5\)-ös szám szerepel. A könyvben még két olyan oldal található, amelyre az első négy oldalhoz hasonlóan nem nyomtatták rá az oldalszámot. A könyvben lévő oldalszámok összege \(\displaystyle 23\;862\). Hány oldalas a könyv?
(5 pont)
C. 706. Mely \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) természetes számokra teljesülnek a \(\displaystyle 90<a+b<100\) és a \(\displaystyle 0{,}9<\frac{a}{b}<0{,}91\) feltételek?
(5 pont)
C. 707. Egy háromszög két oldalával párhuzamosan rajzoljuk meg azokat az egyeneseket, amelyek felezik a háromszög területét. Milyen arányban osztja a háromszög területét a metszéspontjukon keresztül a háromszög harmadik oldalával párhuzamosan húzott egyenes?
(5 pont)
C. 708. Egy egyenlő szárú háromszög szögei \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), \(\displaystyle \gamma\). Mekkorák ezek a szögek, ha \(\displaystyle \sin^2\alpha+\sin^2\beta=\sin\gamma\)?
(5 pont)
C. 709. A jól gömbölyített dobókocka a kocka éleit érintő gömbnek a kockával alkotott közös része. Mekkora a felszíne egy ilyen dobókockának, ha két szemközti lapjának távolsága \(\displaystyle 2~\rm cm\)?
(lásd az A pontverseny logóját!)
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. március 15-én LEJÁRT. |
B. 3612. Egy tízes számrendszerben felírt számból kiindulva készítsük el a szám jegyeinek permutációival nyerhető különböző számok összegét. Pl. a \(\displaystyle 110\)-ből kiindulva a \(\displaystyle 110+101+11=222\) összeg adódik. Melyik a legkisebb szám, amelyből kiindulva a kapott összeg \(\displaystyle 4\;933\;284\)?
(4 pont)
B. 3613. Egy \(\displaystyle f:~ R\to R\) függvényre bármely \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) számok esetén
\(\displaystyle \big|f(x)-f(y)\big|=|x-y|. \)
Mennyi lehet \(\displaystyle f(2)\) értéke, ha \(\displaystyle f(1)=3\)?
(3 pont)
B. 3614. \(\displaystyle A_1, A_2, \dots, A_n\) a sík különböző pontjai. Színezzük pirosra az általuk meghatározott valamennyi szakasz felezőpontját. Mennyi a létrejövő piros pontok minimális száma?
(4 pont)
B. 3615. Egy egységnyi élű paralelepipedon alaplapja \(\displaystyle A_1A_2A_3A_4\), fedőlapja \(\displaystyle B_1B_2B_3B_4\) úgy, hogy az \(\displaystyle A_i\) és \(\displaystyle B_i\) csúcsokat él köti össze. Milyen határok között változik az \(\displaystyle A_1B_2^2+A_2B_3^2+A_3B_4^2+A_4B_1^2\) négyzetösszeg?
(3 pont)
B. 3616. A derékszögű koordinátarendszer \(\displaystyle (1;1)\) pontján átmenő \(\displaystyle e\), valamint a \(\displaystyle (-1;1)\) pontján átmenő \(\displaystyle f\) egyenesekről tudjuk, hogy meredekségük különbsége \(\displaystyle 2\). Határozzuk meg az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) egyenesek metszéspontjának mértani helyét.
(3 pont)
B. 3617. A \(\displaystyle t\) paraméter milyen értékeire van az
\(\displaystyle x+y+z+v =0,\qquad (xy+yz+zv)+t(xz+xv+yv) =0 \)
egyenletrendszernek pontosan egy megoldása?
(5 pont)
B. 3618. Az \(\displaystyle ABCD\) rombusz \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\)-n túli meghosszabbításán lévő \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontokból a rombusz beírt köréhez húzott érintők az \(\displaystyle AD\) egyenest az \(\displaystyle E'\) és \(\displaystyle F'\) pontokban metszik. Határozzuk meg a \(\displaystyle DE':DF'\) arányt, ha tudjuk, hogy \(\displaystyle BE:BF=\lambda :\mu\).
(4 pont)
B. 3619. Tekintsünk három olyan síkot, amelyek egy egységnyi térfogatú tetraéder egy-egy lapjával párhuzamosak és felezik a tetraéder térfogatát. Mekkora annak a tetraédernek a térfogata, amelyet ez a három sík és a tetraéder negyedik lapja határol?
(4 pont)
B. 3620. Tegyük fel, hogy az
\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{1-a_n}- \frac{1}{1+a_n} \)
rekurzióval képzett sorozat periodikus. Mi lehet a sorozat első eleme?
(5 pont)
B. 3621. Legyen \(\displaystyle f(x)=ax+1\), ahol \(\displaystyle a\neq0\) adott valós szám. Keressük meg azokat a \(\displaystyle g(x)\) polinomokat, amelyekre \(\displaystyle f\big(g(x)\big)=g\big(f(x)\big)\).
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. március 15-én LEJÁRT. |
A. 311. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle x\) pozitív valós számra
\(\displaystyle [nx]\ge \frac{[x]}{1}+ \frac{[2x]}{2}+ \frac{[3x]}{3}+ \dots+ \frac{[nx]}{n}. \)
(5 pont)
A. 312. Milyen \(\displaystyle n\) pozitív egészek esetén lehet a \(\displaystyle n\) csúcsú teljes gráfot háromszögekre bontani úgy, hogy minden élt pontosan egyszer használunk fel?
(5 pont)
A. 313. Bizonyítsuk be, hogy a sík tetszőleges \(\displaystyle n\) különböző pontját ki lehet színezni legfeljebb \(\displaystyle 100\cdot\ln n\) színnel úgy, hogy minden olyan kör, amely legalább egy pontot tartalmaz, valamelyik színű pontból pontosan egyet tartalmazzon.
A 2002. évi Schweitzer-verseny nyomán
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)