A KöMaL 2003. márciusi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. április 15-én LEJÁRT. |
C. 710. Egy iskolában a diákok átlagéletkora 16 év, a tanároké 38 év, az összes diák és tanár átlagéletkora együtt 17 év. A tanárok átlagosan 21 órát tanítanak hetente, a diákoknak pedig hetente átlagosan 29 órájuk van. Minden osztálynak ugyanannyi a létszáma. Hány gyerek jár egy osztályba ebben az iskolában?
(5 pont)
C. 711. Egy pozitív számokból álló sorozat bármely három egymás utáni elemére teljesül, hogy a középső szám a két szélsőnek a szorzata. Az első öt elem, valamint az utána következő öt elem szorzata is 2. Határozzuk meg a sorozat első tíz tagját.
(5 pont)
C. 712. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben a szokásos jelölésekkel \(\displaystyle \gamma=3\alpha\), \(\displaystyle a=27\), \(\displaystyle c=48\). Határozzuk meg a \(\displaystyle b\) oldal hosszát.
(5 pont)
C. 713. Hány megoldása van a \(\displaystyle [0;2\pi]\) intervallumban a
\(\displaystyle \sin 2002x=\sin 2003x \)
egyenletnek?
(5 pont)
C. 714. Egy tó vizében egy ottfelejtett labda úszott. A téli fagy beköszöntével a tó fenékig befagyott, a labdát kiemelték, és egy \(\displaystyle 8~\rm cm\) mély, \(\displaystyle 24~\rm cm\) átmérőjű mélyedés maradt a nyomában. Hány centiméter a labda sugara?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. április 15-én LEJÁRT. |
B. 3622. A Hupikék Törpikék \(\displaystyle 1001\times 945\) méteres erdejében 1280 darab 1 méter átmérőjű fenyőfa él. A törpök szeretnének 7 darab \(\displaystyle 20\times 34\) méteres teniszpályát kijelölni az erdőben.
Lehetséges-e ez anélkül, hogy egyetlen fenyőt is ki kellene vágniuk?
(4 pont)
B. 3623. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}\) racionális szám.
(4 pont)
B. 3624. Az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív számokra teljesül, hogy
\(\displaystyle \frac{{(a+b)}^n- {(a-b)}^n}{{(a+b)}^n+{(a-b)}^n}= \frac{a}{b}, \)
ahol \(\displaystyle n\) adott pozitív egész. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle a=b\).
(4 pont)
B. 3625. Határozzuk meg annak a gömbnek a sugarát, amely érinti az egységnyi élű szabályos tetraéder három lapját, valamint a negyedik lap három oldalát.
(3 pont)
B. 3626. Az \(\displaystyle x_0,x_1,x_2,\dots\) sorozat első két tagja pozitív, és fennáll, hogy \(\displaystyle x_{n+2}= \frac{x_{n+1}+1}{x_n}\). Fejezzük ki a sorozat \(\displaystyle 2003\)-adik tagját \(\displaystyle x_0\) és \(\displaystyle x_1\) segítségével.
(3 pont)
B. 3627. Mutassuk meg, hogy ha a pozitív \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) számok szorzata \(\displaystyle 1\), akkor
\(\displaystyle a^3+b^3+c^3+d^3\ge \max \left\{a+b+c+d; \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}+ \frac{1}{d}\right\}. \)
(4 pont)
B. 3628. Négy testvér egy konvex négyszög alakú telket örökölt. A telek szemközti oldalainak felezőpontjait összekötve négy négyszögre osztották az örökséget. Az első három testvér rendre \(\displaystyle 360\), \(\displaystyle 720\) és \(\displaystyle 900~\rm m^{2}\)-es telket kapott. Mekkora telek jutott a negyediknek?
(4 pont)
B. 3629. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszögben
\(\displaystyle {(AB+CD)}^2+ {(BC+DA)}^2\ge {(AC+BD)}^2. \)
(4 pont)
B. 3630. Egy körvonalon adott három pont. Szerkesszünk a körön egy negyediket úgy, hogy a négy pont érintőnégyszöget határozzon meg.
(5 pont)
B. 3631. Legyen az \(\displaystyle f(x)\) tetszőleges másodfokú polinom. Bizonyítsuk be, hogy ha a legalább elsőfokú \(\displaystyle p(x)\) és a \(\displaystyle q(x)\) polinomok mindketten fölcserélhetők a kompozícióra nézve az \(\displaystyle f(x)\) polinommal, akkor egymással is fölcserélhetők.
(Lásd a B. 3621. feladatot a KöMaL 2003. februári számának 105. oldalán.)
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. április 15-én LEJÁRT. |
A. 314. Adott egy egységnyi oldalú négyzetben egy töröttvonal úgy, hogy bármely egyenes, amely egy csúcsára sem illeszkedik, legfeljebb hét oldalát metszi. Legfeljebb milyen hosszú lehet a töröttvonal?
Soukup Lajos ötletéből
(5 pont)
A. 315. Egy szabályos \(\displaystyle (n^2+n+1)\)-szögnek kiválasztottuk \(\displaystyle n+1\) csúcsát. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle n\) szám \(\displaystyle 12k-2\) alakú, akkor a kiválasztott csúcsok közötti távolságok nem lehetnek mind különbözők.
(5 pont)
A. 316. Adott \(\displaystyle n\) pozitív egész számhoz tekintsük azon \(\displaystyle A\subset\{1,2,\dots,n\}\) halmazokat, amelyekben az \(\displaystyle x+y\equiv u+v\pmod{n}\) kongruenciának nincs más megoldása, mint az \(\displaystyle x=u\), \(\displaystyle y=v\), illetve \(\displaystyle x=v\), \(\displaystyle y=u\) triviális megoldások. Legyen \(\displaystyle f(n)\) az ilyen halmazok elemszámának maximuma.
\(\displaystyle a)\) Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle f(n)<\sqrt{n}+1\).
\(\displaystyle b)\) Mutassunk példát végtelen sok olyan \(\displaystyle n\)-re, amikor \(\displaystyle f(n)>\sqrt{n}-1\).
A 2002. évi Schweitzer-verseny 4. feladata nyomán
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)