A KöMaL 2003. áprilisi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. május 15-én LEJÁRT. |
C. 715. Útmérő szerkezetünk ,,lelke'' egy \(\displaystyle 1\) méter kerületű kerék. Ezt az úton végiggördítve számláló mutatja, hogy a kerék hányszor fordult körbe, vagyis hány méter az út hossza. Mennyit mutat a számláló, ha – nem éppen rendeltetésszerűen használva – az útmérőt egy \(\displaystyle 100\)-fokú lépcsősoron toljuk fel? Minden lépcsőfok \(\displaystyle 20~\rm cm\) magas és \(\displaystyle 30~\rm cm\) hosszú. (A kerék csúszásmentesen gördül.)
(5 pont)
C. 716. Adott a \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\) és \(\displaystyle M\) pont, továbbá az ezekre nem illeszkedő \(\displaystyle e\) egyenes. Legyen \(\displaystyle N\) az \(\displaystyle e\) egyenes tetszőleges pontja. A \(\displaystyle KL\) felezőpontja \(\displaystyle P\), az \(\displaystyle MN\) felezőpontja \(\displaystyle Q\), a \(\displaystyle PQ\) felezőpontja \(\displaystyle R\). Mi az \(\displaystyle R\) pontok mértani helye?
(5 pont)
C. 717. Egy tálcán összesen 58 szelet bejgli van, diós és mákos vegyesen. Három dióst ugyanannyiféleképpen lehet kiválasztani közülük, mint két mákost és egy dióst. Hány mákos bejgli van a tálcán?
(5 pont)
C. 718. Oldjuk meg a \(\displaystyle (9-3x)\cdot 3^x-(x-2)(x^2-5x+6)=0\) egyenletet a valós számok halmazán.
(5 pont)
C. 719. Oldjuk meg az
\(\displaystyle \frac{1}{\log_{\frac{1}{2}}x}+ \frac{1}{\log_{\frac{2}{3}}x}+ \dots+ \frac{1}{\log_{\frac{9}{10}}x}=1 \)
egyenletet a valós számok halmazán.
Hajdú-Bihar megyei középiskolák matematika versenye 2002/2003
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. május 15-én LEJÁRT. |
B. 3632. Oldjuk meg az \(\displaystyle x^{2003}- {[x]}^{2003}= \big(x-[x]\big)^{2003}\) egyenletet a valós számok körében.
(3 pont)
B. 3633. Egy konvex négyszöget átlói négy olyan háromszögre darabolnak, melyek mindegyikének egész szám a területe.
Lehet-e ezek közül három szám \(\displaystyle 2001\), \(\displaystyle 2002\) és \(\displaystyle 2003\)?
(3 pont)
B. 3634. Legyen \(\displaystyle k(n)\) az \(\displaystyle n\) legnagyobb páratlan osztója és
\(\displaystyle f(n)=\sum_{i=1}^n k(i). \)
Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle f(2n)-f(n)=n^2\).
(4 pont)
B. 3635. Egy konvex poliédernek \(\displaystyle c\) csúcsa van. Mutassuk meg, hogy a poliéder lapjain levő belső szögek összege együttesen \(\displaystyle (c-2)\cdot 360^{\circ}\).
(4 pont)
B. 3636. Mi a feltétele annak, hogy létezzék olyan hat szakaszból álló zárt töröttvonal, amelynek oldalai adott sorrendben \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\), \(\displaystyle e\), \(\displaystyle f\), és a szemközti oldalak merőlegesek egymásra?
(5 pont)
B. 3637. Fel lehet-e venni a kocka minden élén egy-egy pontot úgy, hogy a \(\displaystyle 12\) pont konvex burkának térfogata éppen a kocka térfogatának fele legyen?
(4 pont)
B. 3638. A sík egy \(\displaystyle \ell\) egyeneséről azt mondjuk, hogy érinti a \(\displaystyle H\) ponthalmazt, ha \(\displaystyle H\)-nak pontosan egy pontja illeszkedik \(\displaystyle \ell\)-re. Adjunk meg a síkon olyan ponthalmazt, melynek minden pontjában pontosan egy érintője van és a sík minden egyenesén van legalább egy pontja.
(5 pont)
B. 3639. Vegyünk fel az \(\displaystyle AB\) szakasz \(\displaystyle A\)-n túli meghosszabbításán egy \(\displaystyle C\) pontot. A \(\displaystyle C\) pontban az \(\displaystyle AB\) egyenesre állított merőleges legyen \(\displaystyle e\). Legyen \(\displaystyle D\) az \(\displaystyle e\) tetszőleges pontja és állítsunk \(\displaystyle AD\)-re merőlegest az \(\displaystyle A\) pontban. Ennek és \(\displaystyle DB\)-nek a metszéspontja legyen \(\displaystyle P\).
Mi a \(\displaystyle P\) pontok mértani helye?
(4 pont)
B. 3640. Legyen
\(\displaystyle a_1=1 \quad\mbox{és}\quad a_{n+1}=a_n+\frac{1}{s_n}, \)
ahol \(\displaystyle s_n=a_1+a_2+\dots +a_n\). Korlátos-e az \(\displaystyle a_n\) sorozat?
(5 pont)
B. 3641. Van-e olyan \(\displaystyle p_1(x), p_2(x),\dots,p_n(x),\dots\) végtelen polinomsorozat, ahol \(\displaystyle p_k(x)\) pontosan \(\displaystyle k\)-adfokú, \(\displaystyle p_i\big(p_j(x)\big)= p_j \big(p_i(x)\big)\) minden \(\displaystyle (i,j)\) párra és
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle p_2(x)=x^2-2\),
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle p_2(x)=x^2-3\)?
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. május 15-én LEJÁRT. |
A. 317. Az \(\displaystyle A=\{{\textrm{igen}},{\textrm{nem}}\}\) halmazon értelmezett \(\displaystyle f:~A^n\to A\) függvényt döntési függvénynek mondjuk, ha
\(\displaystyle (a)\) mindegyik argumentumát megváltoztatva a függvényérték is megváltozik,
valamint
\(\displaystyle (b)\) tetszőlegesen választott argumentuma helyébe a függvényértéket helyettesítve a függvényérték nem változik meg.
Egy \(\displaystyle h: A^n\to A\) függvényt hatalmi függvénynek nevezünk, ha van olyan \(\displaystyle i\) index, hogy a függvény értéke mindig az \(\displaystyle i\)-edik argumentummal egyezik meg.
Azt az \(\displaystyle m: A^3\to A\) függvényt, amelynek értéke mindig az, ami az argumentumok között legalább kétszer fellép, nevezzük demokratikus függvénynek.
Mutassuk meg, hogy minden döntési függvény előállítható hatalmi és demokratikus függvényekből összetett függvényként.
Schweitzer Miklós Matematikai Emlékverseny, 2002
(5 pont)
A. 318. Legyen \(\displaystyle n\) tetszőleges pozitív egész szám.
\(\displaystyle a)\) Mutassunk példát olyan \(\displaystyle n\)-edfokú \(\displaystyle p\) polinomra, amelyre bármely \(\displaystyle x\in[0,1/2]\) esetén
\(\displaystyle \left|p(x)- \frac{1}{1-x}\right|< \frac{4}{\big(1+\sqrt2\,\big)^{2n+2}}. \)
\(\displaystyle b)\) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle n\)-edfokú \(\displaystyle q\) polinomhoz létezik olyan \(\displaystyle x\in[0,1/2]\) valós szám, amelyre
\(\displaystyle \left|q(x)- \frac{1}{1-x}\right|> \frac{1}{\big(1+\sqrt2\,\big)^{2n+2}}. \)
(5 pont)
A. 319. Létezik-e olyan valós számokból álló \(\displaystyle a_1,a_2,\dots\) sorozat, amelyre tetszőleges \(\displaystyle k\) pozitív egész esetén a \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^{4k-3}\) sor konvergens, a \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^{4k-1}\) sor pedig divergens?
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)