A KöMaL 2003. májusi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. június 15-én LEJÁRT. |
C. 720. Egy iskolában a tanév során három kirándulást szerveztek. Az első kiránduláson a résztvevő tanulók 75%-a, a másodikon 60%-a volt fiú. A harmadik kirándulásra pontosan azok a tanulók mentek el, akik legalább az egyik kiránduláson részt vettek. Mutassuk meg, hogy a harmadik kiránduláson sem volt kevesebb fiú, mint lány.
(5 pont)
C. 721. A \(\displaystyle 0\)-tól különböző \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) valós számokra kiszámítjuk az
\(\displaystyle \frac{a}{|a|}+ \frac{b}{|b|}+ \frac{c}{|c|}+ \frac{abc}{|abc|} \)
értéket. Hány különböző eredményt kaphatunk?
(5 pont)
C. 722. Tetszőleges \(\displaystyle x\) valós számra legyen \(\displaystyle f(x)\) a \(\displaystyle 4x+1\), \(\displaystyle x+2\), \(\displaystyle -2x+4\) értékek minimuma. Mennyi \(\displaystyle f(x)\) legnagyobb értéke?
(5 pont)
C. 723. Egy első generációs robotmanó csak egyenesen tud haladni. Irányváltoztatáshoz le kell állítani, majd a kívánt irányba fordítva újból elindítani. Egy 1 méter széles körfolyosón, amelynek belső kerülete 30 méter, legalább hányszor kell leállítani a robotot ahhoz, hogy a folyosót körbejárva visszaérjen kiindulási pontjába? (A robotmanó kiterjedése elhanyagolható.)
(5 pont)
C. 724. Egy egyenes hasáb alapja derékszögű háromszög. A háromszög egyik befogója akkora, mint a hasáb magassága. Másik befogójának és átfogójának hossza együtt \(\displaystyle 8~\rm cm\). Legfeljebb mekkora lehet a hasáb térfogata?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. június 15-én LEJÁRT. |
B. 3642. Az \(\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\) számjegyek mindegyikének a felhasználásával hétjegyű számokat készítünk. Lehet-e ezek között két olyan, hogy egyik a másiknak osztója?
(4 pont)
B. 3643. Osszunk fel egy kockát hat egybevágó tetraéderre.
(3 pont)
B. 3644. Egy szabályos háromszög csúcsai körül olyan köröket rajzolunk, amelyek sem egymást, sem a háromszög szemközti oldalegyenesét nem metszik. Hogyan kell megválasztani az egyes körök sugarát, hogy a három kör együttesen a lehető legnagyobb részét fedje le a háromszögnek?
(4 pont)
B. 3645. Határozzuk meg azokat a \(\displaystyle 0\)-tól különböző egészeken értelmezett \(\displaystyle f\) valós függvényeket, amelyekre minden lehetséges \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) esetén teljesül, hogy
\(\displaystyle f\left(\frac{x+y}{3}\right)= \frac{f(x)+f(y)}{2}. \)
(3 pont)
B. 3646. Egy háromszög egy oldalához ,,hozzáírt háromszög'' csúcsai azok a pontok, amelyekben az adott oldalhoz hozzáírt kör érinti a háromszög oldalegyeneseit. A háromszög oldalai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\). Mennyi az \(\displaystyle a\) és a \(\displaystyle b\) oldalakhoz ,,hozzáírt háromszögek'' területének aránya?
(4 pont)
B. 3647. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) oldalának egy belső pontja \(\displaystyle X\), \(\displaystyle BC\) egy belső pontja \(\displaystyle Y\). \(\displaystyle AY\) és \(\displaystyle CX\) metszéspontja \(\displaystyle Z\). Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle AY=YC\) és \(\displaystyle AB=ZC\), akkor a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\), \(\displaystyle Z\) pontok egy körön vannak.
(4 pont)
B. 3648. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:
$$\begin{align*} 2y+x-x^2-y^2 &= 0 \tag{1}\\[6pt] z-x+y-y(x+z) &= 0 \tag{2}\\[6pt] -2y+z-y^2-z^2 &= 0. \tag{3} \end{align*}$$(4 pont)
B. 3649. Legyen \(\displaystyle a_0=5\) és \(\displaystyle a_{n+1}=2a_n+1\). Bizonyítsuk be, hogy minden \(\displaystyle n\) természetes számhoz létezik tőle különböző \(\displaystyle k\), hogy \(\displaystyle a_n\mid a_k\).
(4 pont)
B. 3650. Egy háromszög \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), \(\displaystyle \gamma\) szögeire teljesül, hogy
\(\displaystyle \cos 3\alpha + \cos 3\beta + \cos 3\gamma =1. \)
Bizonyítsuk be, hogy a háromszögnek van \(\displaystyle 120^{\circ}\)-os szöge.
(5 pont)
B. 3651. A pozitív egész \(\displaystyle n\) számot osztatlannak nevezzük, ha abból, hogy \(\displaystyle 1<k<n\) és \(\displaystyle (k,n)=1\), következik, hogy \(\displaystyle k\) prímszám.
Hány 2-nél nagyobb osztatlan szám van?
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. június 15-én LEJÁRT. |
A. 320. A négyzet alakú medencében úszkáló Jerry el szeretne menekülni a parton rá leső Tom elől. Tom nem tud úszni, lassabban fut, mint Jerry, viszont \(\displaystyle p\)-szer olyan gyorsan fut, mint ahogy Jerry úszik. A \(\displaystyle p\) szám milyen értékei esetén tud Jerry – Tom tetszőleges stratégiája esetén – megmenekülni?
(5 pont)
A. 321. Adott \(\displaystyle 2n-1\) irracionális szám. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható közülük \(\displaystyle n\) darab, \(\displaystyle x_1,\ldots,x_n\) a következő tulajdonsággal: ha \(\displaystyle a_1,\ldots,a_n\) tetszőleges nemnegatív racionális számok úgy, hogy nem mindegyik \(\displaystyle 0\), akkor \(\displaystyle a_1x_1+\ldots+a_nx_n\) irracionális.
Bolgár versenyfeladat
(5 pont)
A. 322. Egy liter 0 fokos ,,hideg'' vizet szeretnénk felmelegíteni minél nagyobb hőmérsékletre egy liter 100 fokos ,,meleg'' víz felhasználásával.
A hideg és a meleg vizet is több, tetszés szerinti részre osztjuk. (A részek nem feltétlenül egyforma mennyiségűek.) Ezután a következő lépést ismételgetjük: kiválasztjuk mind a hideg, mind a meleg víz valamelyik részét, és ezeket úgy helyezzük el, hogy a hőmérsékletük kiegyenlítődjék. Kellő számú lépés után összekeverjük a hideg, illetve a meleg víz összes alkotórészét.
Legfeljebb hány fokosra tudjuk a hideg vizet felmelegíteni?
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)