A KöMaL 2003. szeptemberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. október 15-én LEJÁRT. |
C. 725. Egy \(\displaystyle 3\times 3\)-as táblázat minden mezőjére elhelyeztünk egy \(\displaystyle 1\) forintost írással fölfelé. Legalább hány érmét kell megfordítanunk ahhoz, hogy ne legyen egy egyenesen (sor, oszlop, átló) sem három írás, sem három fej?
(5 pont)
C. 726. Van-e olyan szabályos sokszög, amelyben a legrövidebb átló hossza egyenlő a sokszög körülírt körének a sugarával?
(5 pont)
C. 727. Péter telefonszáma körzetszám nélkül \(\displaystyle 312837\), Pálé pedig \(\displaystyle 310650\). Ha ugyanazzal a háromjegyű számmal osztjuk el ezeket a telefonszámokat, akkor egyenlő maradékokat kapunk. Ez a maradék városuk körzetszáma. Mennyi ez a maradék?
(5 pont)
C. 728. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csúcsánál lévő szögei egyenlők, \(\displaystyle C\)-nél fekvő szöge derékszög. Az \(\displaystyle AD\) oldal merőleges a \(\displaystyle BD\) átlóra. A \(\displaystyle BC\) oldal hossza megegyezik a \(\displaystyle CD\) oldaléval. Hányszorosa ez a közös hossz az \(\displaystyle AD\) oldal hosszának?
(5 pont)
C. 729. Oldjuk meg a \(\displaystyle 2x \lg x +x -1 = 0\) egyenletet a valós számok halmazán.
Gyanó Éva (Budapest) javaslata nyomán
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. október 15-én LEJÁRT. |
B. 3652. Minden pozitív egész számot piros vagy kék színűre festettünk úgy, hogy különböző színű számok összegének a színe kék, a szorzatuk színe pedig piros.
Milyen színű két piros szám szorzata?
(3 pont)
B. 3653. Mi azon pontok mértani helye egy adott négyzet síkjában, amelyekből a négyzet \(\displaystyle 30^{\circ}\)-os szögben látszik?
(3 pont)
B. 3654. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle m^2+n^2+m+n-1\) semmilyen \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle n\) egész számra sem osztható 9-cel.
(3 pont)
B. 3655. A körbe írható konvex \(\displaystyle ABCDEF\) hatszögben \(\displaystyle AB=BC=a\), \(\displaystyle CD=DE=b\), végül \(\displaystyle EF=FA=c\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle BDF\) háromszög területe fele a hatszög területének.
(4 pont)
B. 3656. Ha az \(\displaystyle F\) számot \(\displaystyle a\)-alapú számrendszerben írjuk fel, akkor a \(\displaystyle 0{,}3737\ldots=0{,}\dot3\dot7\) végtelen szakaszos törtalakot kapjuk, a \(\displaystyle G\) szám esetén pedig ez az alak \(\displaystyle 0{,}7373\ldots=0{,}\dot7\dot3\).
Ugyanezek a számok \(\displaystyle b\)-alapú számrendszerben felírva \(\displaystyle F=0{,}2525\ldots=0{,}\dot2\dot5\) és \(\displaystyle G=0{,}5252\ldots=0{,}\dot5\dot2\). Határozzuk meg az \(\displaystyle a\) és a \(\displaystyle b\) számokat.
(4 pont)
B. 3657. Van-e olyan derékszögű háromszög, melynek beírt, valamint három hozzáírt körének sugara egy számtani sorozat négy egymást követő eleme?
(4 pont)
B. 3658. Milyen arányban osztja az \(\displaystyle ABCD\) szabályos tetraéder \(\displaystyle A\) csúcsából a \(\displaystyle BCD\) lapra állított merőleges szakaszt az a \(\displaystyle P\) pont, melyre a \(\displaystyle PB\), \(\displaystyle PC\) és \(\displaystyle PD\) egyenesek páronként merőlegesek egymásra?
(3 pont)
B. 3659. Legyen \(\displaystyle t\) adott valós szám. Bontsuk fel valós együtthatós másodfokú tényezők szorzatára az \(\displaystyle x^4+tx^2+1\) kifejezést.
(4 pont)
B. 3660. Egy körvonalat az \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\) és \(\displaystyle Z\) pontok három olyan ívre osztanak, amelyekhez tartozó középponti szögek \(\displaystyle 60^{\circ}\), \(\displaystyle 100^{\circ}\) és \(\displaystyle 200^{\circ}\).
Ha \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) egy háromszög csúcsai, akkor jelölje \(\displaystyle M_A\) és \(\displaystyle M_B\) a háromszög \(\displaystyle A\), illetve \(\displaystyle B\) csúcsából induló magasságvonalnak a háromszög köré írt körrel vett metszéspontját, \(\displaystyle F_C\) pedig a \(\displaystyle C\) csúcsnál lévő szög szögfelezőjének a körülírt körrel vett metszéspontját.
Határozzuk meg az összes olyan hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszöget, amelyre az \(\displaystyle M_A\), \(\displaystyle M_B\) és \(\displaystyle F_C\) pontok valamilyen sorrendben megegyeznek az \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\) és \(\displaystyle Z\) pontokkal.
(4 pont)
B. 3661. Legyen \(\displaystyle x_1=1\), \(\displaystyle y_1=2\), \(\displaystyle z_1=3\), továbbá minden pozitív egész \(\displaystyle n\)-re \(\displaystyle x_{n+1}=y_n+ \frac{1}{z_n}\), \(\displaystyle y_{n+1}=z_n+ \frac{1}{x_n}\), \(\displaystyle z_{n+1}=x_n+ \frac{1}{y_n}\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle x_{200}\), \(\displaystyle y_{200}\) és \(\displaystyle z_{200}\) számok közül legalább az egyik nagyobb, mint \(\displaystyle 20\).
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. október 15-én LEJÁRT. |
A. 323. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög izogonális pontja \(\displaystyle I\) (az a pont a háromszög belsejében, amelyre \(\displaystyle AIB\sphericalangle =BIC\sphericalangle =CIA\sphericalangle =120^\circ\)). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle ABI\), \(\displaystyle BCI\) és \(\displaystyle CAI\) háromszögek Euler-egyenesei egy ponton mennek át.
(5 pont)
A. 324. Igazoljuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pozitív valós számok esetén
\(\displaystyle \frac{1}{a(1+b)}+ \frac{1}{b(1+c)}+ \frac{1}{c(1+a)}\ge \frac{3}{1+abc}. \)
(5 pont)
A. 325. Egy \(\displaystyle n\)-elemű \(\displaystyle A\) halmaznak kiválasztottuk néhány 4-elemű részhalmazát úgy, hogy bármelyik két kiválasztott négyesnek legfeljebb két közös eleme van. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle A\)-nak létezik olyan legalább \(\displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{6n}\) elemű részhalmaza, amelynek egyik négyes sem része.
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)