A KöMaL 2003. októberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. november 15-én LEJÁRT. |
C. 730. Hány megoldása van az \(\displaystyle \left[\frac{x}{10}\right]= \left[\frac{x}{11}\right]+1\) egyenletnek az egész számok körében?
(5 pont)
C. 731. Az \(\displaystyle ABCD\) trapéz \(\displaystyle AB\) alapjára, mint átmérőre írt kör érinti a \(\displaystyle CD\) alapot és felezi az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) szárakat. Mekkorák a trapéz szögei?
XII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
(5 pont)
C. 732. Igazoljuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) nemnegatív valós számokra fennáll az \(\displaystyle a+b+\frac{1}{2}\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}\) egyenlőtlenség.
(5 pont)
C. 733. Egy szabályos háromszög oldalait (azonos körüljárás szerint) felosztottuk \(\displaystyle p:q\) arányban. Az osztópontok összekötésével kapott háromszög területe az eredeti háromszög területének \(\displaystyle \frac{19}{64}\)-ed része. Mekkora a \(\displaystyle p:q\) arány?
Javasolta: Koncz Levente, Budapest
(5 pont)
C. 734. Ábrázoljuk a koordinátarendszerben azokat a \(\displaystyle P(x;y)\) pontokat, amelyek koordinátáira \(\displaystyle \frac{2+y}{x} < \frac{4-x}{y}\).
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. november 15-én LEJÁRT. |
B. 3662. Van egy zsebrádiónk, amely két ceruzaelemmel működik. A fiókban van 8 ceruzaelemünk, közülük 4 ki van merülve. A jó és rossz elemek sajnos összekeveredtek. Az elemek tesztelésére nincs más lehetőségünk, mint hogy belehelyezünk kettőt a készülékbe, és ha az szól, akkor mindkét elem jó, ha nem szól, akkor legalább az egyik rossz. Legalább hány kísérletre van szükség ahhoz, hogy biztosan megszólaljon a rádió?
(5 pont)
B. 3663. Vannak-e olyan páratlan \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számok, amelyekre
\(\displaystyle {(a+b)}^2+{(a+c)}^2={(b+c)}^2? \)
(3 pont)
B. 3664. Keressük meg azt a legalacsonyabb fokú egész együtthatós \(\displaystyle p(x)\) polinomot, amelyre teljesül, hogy főegyütthatója 1, továbbá \(\displaystyle p(0)=0\), \(\displaystyle p(1)=1\) és \(\displaystyle p(-1)=3\).
(3 pont)
B. 3665. Adott a síkon tizenhárom pont úgy, hogy közülük bármely öt között van négy, amelyek egy körön vannak. Bizonyítsuk be, hogy az adott pontok közül legalább hat egy körön van.
(4 pont)
B. 3666. Adjunk meg egy kocka minden lapjának a belsejében egy-egy négyzetet úgy, hogy a négyzetek csúcsai által meghatározott konvex test minden lapja szabályos sokszög legyen.
(4 pont)
B. 3667. Az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) pontok egy szabályos háromszög csúcsai. Adjuk meg azon \(\displaystyle P\) pontok mértani helyét a háromszög síkjában, melyekre
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle PA^2+PB^2=PC^2\),
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle PA^2+PB^2=2PC^2\).
(3 pont)
B. 3668. Milyen \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) valós számokra igaz, hogy minden \(\displaystyle x\in [0;1]\) esetén \(\displaystyle |x^2-ax-b|\le \frac{1}{8}\)?
(4 pont)
B. 3669. Egységnyi térfogatú forgáskúpok közül melyiknek minimális a felszíne?
(4 pont)
B. 3670. Egy háromszög hozzáírt köreinek sugarai \(\displaystyle r_a\), \(\displaystyle r_b\) és \(\displaystyle r_c\), körülírt körének sugara pedig \(\displaystyle R\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle r_a+r_b=3R\) és \(\displaystyle r_b+r_c=2R\). Mekkorák a háromszög szögei?
(5 pont)
B. 3671. Oldjuk meg az \(\displaystyle (x^2+y)(x+y^2)={(x-y)}^3\) egyenletet az egész számok körében.
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. november 15-én LEJÁRT. |
A. 326. Legyenek \(\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_n\) olyan egész számok, amelyeknek nincs \(\displaystyle 1\)-nél nagyobb közös osztója, továbbá tetszőleges \(\displaystyle k\) pozitív egészre legyen
\(\displaystyle s_k=x_1^k+\dots+x_n^k. \)
Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle 1,2,\dots,n\) számok legkisebb közös többszöröse osztható az \(\displaystyle s_1,s_2,\dots,s_n\) számok legnagyobb közös osztójával.
(5 pont)
A. 327. Az \(\displaystyle n\)-edfokú, valós együtthatós
\(\displaystyle p(x)= a_nx^n+ a_{n-1}x^{n-1}+ \dots+ a_1+ a_0 \)
polinom (\(\displaystyle n\ge 3\)) mindegyik (valós és komplex) gyöke a bal félsíkban van, azaz negatív a valós része. Igazoljuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle 0\le k\le n-3\) esetén
\(\displaystyle a_ka_{k+3}< a_{k+1}a_{k+2}. \)
IMC 10, Kolozsvár, 2003
(5 pont)
A. 328. Határozzuk meg mindazokat az \(\displaystyle f\colon (0,\infty)\to(0,\infty)\) függvényeket, amelyekre tetszőleges \(\displaystyle x,y>0\) esetén
\(\displaystyle f\big(f(x)+y\big)=xf(1+xy). \)
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)