A KöMaL 2003. novemberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. december 15-én LEJÁRT. |
C. 735. Az egységnyi oldalú \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DA\) oldalán fölvesszük az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle C_1\), \(\displaystyle D_1\) pontokat úgy, hogy \(\displaystyle AA_1=BB_1=CC_1=DD_1= \frac{1}{5}\). Mekkora az \(\displaystyle A_1B_1C_1D_1\) négyszög területe?
(5 pont)
C. 736. Az internetről egy 1,5 MB-os fájlt töltünk le a számítógépünkre. A művelet során a program a letöltés addigi átlagos sebessége alapján folyamatosan megbecsüli a még hátralevő időt. A képernyőre pillantva azt látjuk, hogy a fájlnak pontosan a felét már letöltötte a program, s ekkor a műveletből hátralevő időt pontosan 2 percre becsüli. Ezután bármely \(\displaystyle t\) idő elteltével azt tapasztaljuk, hogy (a hálózat leterheltsége miatt) még mindig 2 percet ír ki a program a fájl letöltéséből hátralevő időként. Adjuk meg \(\displaystyle t\) függvényeként a fájl már letöltött részének méretét.
Javasolta: Koncz Levente, Budapest
(5 pont)
C. 737. Egy cukorkát gyártó vállalatnál a legújabb terméket téglatest alakú dobozokba kívánják csomagolni, a 10 dobozból összeálló gyűjtőcsomagokat pedig vékony fóliával burkolni.
Az igazgató szerint előnyös lenne, ha a gyűjtőcsomag geometriailag hasonló volna a cukorkás dobozhoz. Megvalósítható-e az elképzelése?
(5 pont)
C. 738. Milyen nagy lehet egy háromszög területe, ha egyik oldalának a hossza sem nagyobb 2-nél?
(5 pont)
C. 739. Egy ,,csuklós'' deltoid oldalai 3 cm és 4 cm hosszúak, szögei változtathatók. Mekkora a konvex deltoid átlóinak hossza, ha a területe fele az elérhető legnagyobb értéknek?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. december 15-én LEJÁRT. |
B. 3672. Bizonyítandó, hogy minden háromszögből levágható két háromszög úgy, hogy a megmaradó ötszög egy alkalmas pontjából az ötszög minden oldalát hegyesszögben lássuk.
(3 pont)
B. 3673. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a pozitív valós számok körében:
\(\displaystyle x^2+y^2+xy =7,\quad x^2+z^2+xz =13,\quad y^2+z^2+yz =19. \)
(4 pont)
B. 3674. Milyen \(\displaystyle k\) pozitív egész szám esetén lehet az első \(\displaystyle k\) darab prymszám szorzata két pozitív köbszám összege?
(4 pont)
B. 3675. Egy háromszöget a súlyvonalai hat háromszögre osztanak. Lehet-e ezek közül valamelyik hasonló az eredeti háromszöghöz?
(3 pont)
B. 3676. Bergengóciában a totón négy mérkőzésre lehet tippelni. Betli Benő – nevéhez méltó módon – szeretne barátai előtt egy olyan szelvénnyel büszkélkedni, amelyen egyetlen találat sincs. Hány szelvény ügyes kitöltésével mehet biztosra?
(5 pont)
B. 3677. Határozzuk meg mindazokat a pozitív egészekből álló \(\displaystyle (\alpha;\beta)\) számpárokat, amelyekre a pozitív egészek halmazát fel lehet bontani két diszjunkt halmazra, \(\displaystyle A\)-ra és \(\displaystyle B\)-re úgy, hogy \(\displaystyle \{\alpha a \mid a\in A\}= \{\beta b\mid b\in B\}\) teljesüljön.
(4 pont)
B. 3678. A konvex \(\displaystyle ABCD\) négyszög \(\displaystyle A\) csúcsán át a \(\displaystyle BD\) átlóval és \(\displaystyle B\) csúcsán át az \(\displaystyle AC\) átlóval párhuzamosan húzott egyenesek metszéspontja \(\displaystyle E\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle EC\) egyenes ugyanolyan arányban osztja a \(\displaystyle BD\) átlót, mint az \(\displaystyle ED\) egyenes az \(\displaystyle AC\) átlót.
(3 pont)
B. 3679. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) pozitív számokra:
\(\displaystyle \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{4}{c}+ \frac{16}{d}\ge \frac{64}{a+b+c+d}. \)
(4 pont)
B. 3680. A hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt köréhez érintőket húzunk az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) csúcsokban. Tekintsük azt a \(\displaystyle PQR\) háromszöget, amelynek ezek az érintők az oldalai, a betűzést úgy választva, hogy \(\displaystyle C\) a \(\displaystyle PQ\) oldalon helyezkedjék el, \(\displaystyle B\) a \(\displaystyle PR\) oldalon, végül az \(\displaystyle A\) a \(\displaystyle QR\) oldalon.
Jelölje \(\displaystyle C_1\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle C\)-ből induló magasságának a talppontját az \(\displaystyle AB\) oldalon. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle CC_1\) felezi a \(\displaystyle QC_1P\) szöget.
(5 pont)
B. 3681. Egy tetraéder hat éle közül ötnek a hosszáról tudjuk, hogy nem nagyobb, mint 2. Igazoljuk, hogy a tetraéder térfogata legfeljebb 1.
(4 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2003. december 15-én LEJÁRT. |
A. 329. Adott a síkban a \(\displaystyle k_2\) kör és a belsejében a \(\displaystyle k_1\) kör, valamint a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontok úgy, hogy a \(\displaystyle P\) pont a \(\displaystyle k_1\) belsejében, a \(\displaystyle Q\) pont pedig a \(\displaystyle k_2\) körön kívül helyezkedik el. Húzzunk \(\displaystyle P\)-n át egy tetszőleges \(\displaystyle e\) egyenest, amely nem megy át a \(\displaystyle Q\) ponton; legyenek \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle e\) metszéspontjai \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\). Az \(\displaystyle ABQ\) háromszög körülírt köre messe a \(\displaystyle k_2\) kört a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokban. Mutassuk meg, hogy az így kapható \(\displaystyle CD\) szakaszok egy ponton mennek át.
(5 pont)
A. 330. A Lucas-számok sorozatát a következő rekurzióval definiáljuk: \(\displaystyle L_0=2\), \(\displaystyle L_1=1\), \(\displaystyle L_{n+1}=L_n+L_{n-1}\). Mutassuk meg, hogy tetszőleges \(\displaystyle p>3\) prímszám esetén \(\displaystyle L_{(p+1)/2}^p-1\) osztható \(\displaystyle L_p\)-vel.
(5 pont)
A. 331. Bergengócia statisztikai hivatala szerint ha két lakos ismeri egymást, akkor nekik pontosan egy közös ismerősük van, ha nem ismerik egymást, akkor legalább tíz közös ismerősük van.
Lehetséges-e, hogy a statisztikai hivatal információi pontosak?
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)