A KöMaL 2003. decemberi informatika feladatai

I-jelű feladatok A beküldési határidő 2004. január 15-én LEJÁRT.

I. 64. Legyen \(\displaystyle N\) pozitív egész szám. \(\displaystyle N\)-edrendű Farey-sorozatnak nevezzük a 0 és 1 közötti olyan nem egyszerűsíthető törtek növekvő sorozatát, amelyek nevezője kisebb vagy egyenlő, mint \(\displaystyle N\). Például:

\(\displaystyle F_6 = \frac{0}{1},\, \frac{1}{6},\, \frac{1}{5},\, \frac{1}{4},\, \frac{1}{3},\, \frac{2}{5},\, \frac{1}{2},\, \frac{3}{5},\, \frac{2}{3},\, \frac{3}{4},\, \frac{4}{5},\, \frac{5}{6},\, \frac{1}{1}. \)

Készítsünk programot (i64.pas, ...), amely beolvassa \(\displaystyle N\) értékét (\(\displaystyle 1 \le N \le 100\)), majd kiírja az \(\displaystyle N\)-edrendű Farey-sorozatot.

(10 pont)

statisztika

I. 65. \(\displaystyle N+1\) ismert síkbeli ponthoz \(\displaystyle (x_{i};y_{i})\) egy azokat szépen közelítő Bézier-görbét rajzolhatunk. A Bézier-görbe egy paraméteres görbe, ahol \(\displaystyle x\)-et és \(\displaystyle y\)-t az \(\displaystyle u\) paraméter függvényében fejezzük ki (\(\displaystyle 0\le u \le 1\)):

\(\displaystyle x(u)=\sum_{i=0}^n x_i {n\choose i} u^i (1-u)^{n-i}, \quad y(u)=\sum_{i=0}^n y_i {n\choose i} u^i (1-u)^{n-i}. \)

Készítsünk programot (i65.pas, \ldots), amely beolvassa az \(\displaystyle N+1\) darab pont képernyő-koordinátáit, majd kirajzolja a pontokat és a hozzájuk tartozó Bézier-görbét.

Példa:

\noindentN=14
Pontok:
(0,0),(16,40),(25,45),
(36,65),(49,70),(64,80),
(81,90),(100,100),(121,120),
(144,120),(169,120),(196,140),
(225,150),(256,160),(289,170)

(10 pont)

statisztika

I. 66. Az Euler-háromszög hasonló a Pascal-háromszöghöz, az ún. Euler számokat tartalmazza. \(\displaystyle E(n,k)\)-t \(\displaystyle 0 \le n \le 15\), \(\displaystyle 0 \le k \le n\) értékekre értelmezzük: \(\displaystyle E(n,k)\) az első \(\displaystyle n\) természetes szám azon permutációinak száma, amelyekben pontosan \(\displaystyle k\) emelkedés van, vagyis \(\displaystyle k\)-szor teljesül, hogy egy elem nagyobb a rákövetkező elemnél.

Készítsünk táblázatot (i66.xls), amely az A1 cellába írt \(\displaystyle m\) (\(\displaystyle 0\le m\le 15\)) értékre a táblázat \(\displaystyle n+1\). sorába írja \(\displaystyle E(n,k)\) (\(\displaystyle n=0,1,\dots,m\)) értékeit. Csak az érvényes mezőkben jelenjen meg szám.

Példa \(\displaystyle m=10\)-re:

\(\displaystyle {|*{12}{r|}} \hline 10&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline 0&1&&&&&&&&&&\\ \hline 1&1&0&&&&&&&&&\\ \hline 2&1&1&0&&&&&&&&\\ \hline 3&1&4&1&0&&&&&&&\\ \hline 4&1&11&11&1&0&&&&&&\\ \hline 5&1&26&66&26&1&0&&&&&\\ \hline 6&1&57&302&302&57&1&0&&&&\\ \hline 7&1&120&1191&2416&1191&120&1&0&&&\\ \hline 8&1&247&4293&15619&15619&4293&247&1&0&&\\ \hline 9&1&502&14608&88234&156190&88234&14608&502&1&0&\\ \hline 10&\phantom{0}\)

\;\(\displaystyle 1&1013&47840&455192&1310354&1310354&455192&47840&1013&\phantom{0}\)\;\(\displaystyle 1&\phantom{0}\)\;\(\displaystyle 0\\ \hline \)

(10 pont)

statisztika