A KöMaL 2003. decemberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. január 15-én LEJÁRT. |
C. 740. Határozzuk meg azokat a pozitív egész számokat, amelyek másfélszer akkorák, mint a számjegyeik szorzata.
(5 pont)
C. 741. Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldala, \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), továbbá tudjuk, hogy (a szokásos jelölésekkel) \(\displaystyle \alpha=2\beta\).
(5 pont)
C. 742. Szeretnénk egy kerítés elkorhadt léceit 2,5 méter hosszú szakaszon 3 cm vastag új lécekre kicserélni. Az egyik fa törzse éppen megfelelő magasságú, és belőle egy 30 cm átmérőjű kör alapú egyenes henger használható fel. A kapott léceket szorosan egymás mellett szeretnénk felállítani úgy, hogy a szélesebb oldaluk nézzen befelé.
Elkészíthető-e a kerítés, ha veszteség nélkül tudjuk méretre szabni a fatörzset?
(5 pont)
C. 743. Oldjuk meg az
\(\displaystyle \log_x\left(2{,}5- \frac{1}{x}\right)>1 \)
egyenlőtlenséget.
(5 pont)
C. 744. Hányféleképpen helyezhető el a \(\displaystyle 8\times8\)-as sakktáblán egy \(\displaystyle 5\) egységnyi oldalú négyzet úgy, hogy minden csúcsa egy-egy mező középpontjába essék? (A tükrözéssel és forgatással egymásba vihető megoldásokat nem tekintjük különbözőknek.)
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. január 15-én LEJÁRT. |
B. 3682. Két pozitív egész, \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének az összege egyenlő \(\displaystyle (a+b)\)-vel. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) számok közül valamelyik osztható a másikkal.
(3 pont)
B. 3683. Melyek azok a szabályos sokszögek, amelyek hézag és átfedés nélkül összerakhatók más, ugyanolyan oldalhosszúságú szabályos sokszögekből?
(4 pont)
B. 3684. Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldala, \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), továbbá tudjuk, hogy (a szokásos jelölésekkel) \(\displaystyle \alpha=3\beta\).
(3 pont)
B. 3685. Egy számítógépes játékban minden egyes játék alkalmával egész pontszámot érhetünk el. A legjobb 30 eredményt számon tartó listán a játék megalkotója egy-egy fantázianév mellett a \(\displaystyle 30, 29, 28,\ldots, 1\) pontszámokat tüntette fel. Egy játék során elért eredményünk – saját nevünk alatt – akkor kerül fel a listára, ha pontszámunk nagyobb, mint az aktuális listán szereplő legkisebb pontszám, amely ezután értelemszerűen lekerül a listáról. Egyenlő pontszámok esetén az utoljára felkerült pontszám kerül le a listáról. A besorolás ``alulról'' történik, tehát csak azokat az eredményeket fogjuk megelőzni a listán, amelyeknél nagyobb pontszámot értünk el. Feltéve, hogy minden egyes játék után feljutunk a listára, legalább hány játékot kell lejátszanunk ahhoz, hogy biztosan a mi nevünk szerepeljen a listán valamennyi pontszám mellett?
(4 pont)
B. 3686. Az \(\displaystyle ABCD\) tetraéderben az \(\displaystyle ABD\) és \(\displaystyle ACD\) szögek tompaszögek. Mutassuk meg, hogy ekkor \(\displaystyle AD>BC\).
(3 pont)
B. 3687. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:
\(\displaystyle \sqrt[5]{x^3+2x} = \sqrt[3]{x^5-2x}. \)
(5 pont)
B. 3688. Keressünk olyan egész számot, amelynek a négyzetgyökében a tizedesvessző után közvetlenül a 414213462 számjegysorozat áll.
(4 pont)
B. 3689. Keressük meg az összes olyan \(\displaystyle x\) valós számot, amelyre \(\displaystyle \mathop{\rm tg}\left(\frac{\pi}{12}-x\right)\), \(\displaystyle \mathop{\rm tg} \frac{\pi}{12}\) és \(\displaystyle \mathop{\rm tg}\left(\frac{\pi}{12}+x\right)\) (valamilyen sorrendben) egy mértani sorozat három szomszédos tagja.
(4 pont)
B. 3690. Adott az \(\displaystyle \mathcal{E}\) ellipszis nagytengelyének két végpontja, az ellipszis \(\displaystyle e\) érintője és azon egy \(\displaystyle P\) pont. Szerkesszük meg a \(\displaystyle P\)-ből \(\displaystyle \mathcal{E}\)-hez húzható másik érintőt.
(5 pont)
B. 3691. Legfeljebb milyen nagy lehet egy \(\displaystyle 3\times 4\times 12\) méretű téglatest merőleges vetületének a területe?
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. január 15-én LEJÁRT. |
A. 332. Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszögben az \(\displaystyle AC\) átló felezőpontja \(\displaystyle E\), a \(\displaystyle BD\) átló felezőpontja \(\displaystyle F\). Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle AEB\sphericalangle =AED\sphericalangle\), akkor \(\displaystyle BFA\sphericalangle =BFC\sphericalangle\).
(5 pont)
A. 333. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle n=x_n\cdot (x_{n-1}+x_n+x_{n+1})\), \(\displaystyle n=1,2,\dots\), \(\displaystyle x_0=0\) rekurziónak egyetlen nemnegatív megoldása van.
Schweitzer-verseny, 2003
(5 pont)
A. 334. Legyenek \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) rögzített relatív prím pozitív egészek. A nemnegatív egészek egy \(\displaystyle S\) részhalmazát ideális részhalmaznak nevezzük, ha a következő két feltétel egyszerre teljesül:
– \(\displaystyle S\) tartalmazza a \(\displaystyle 0\)-t;
– ha \(\displaystyle n\) eleme \(\displaystyle S\)-nek, akkor \(\displaystyle n+p\) és \(\displaystyle n+q\) is eleme \(\displaystyle S\)-nek.
Határozzuk meg az ideális részhalmazok számát.
Javasolta: Dobos Sándor
(Olimpiai válogatóverseny, 2001)
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)