A KöMaL 2004. januári matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. február 15-én LEJÁRT. |
C. 745. Van-e 2004 olyan pozitív egész szám, amelyek összege egyenlő a szorzatukkal?
(5 pont)
C. 746. Az \(\displaystyle \overline{ababab}\) alakú hatjegyű számok között hány
\(\displaystyle a)\) 217-tel;
\(\displaystyle b)\) 218-cal osztható szám van?
(5 pont)
C. 747. Valamely egyenlő szárú háromszög alapja egységnyi, szárainak hossza \(\displaystyle b\). Mekkora annak az egyenlő szárú háromszögnek az alapja, amelynek szárszöge egyenlő az előbbi háromszög alapon fekvő szögével és szárai egységnyiek?
(5 pont)
C. 748. Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenletet:
\(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{3}\, \big(x-\sqrt{x^2-3x-12}\,\big)\right)=0. \)
(5 pont)
C. 749. Az ábrán látható \(\displaystyle 6\) egység élű kocka \(\displaystyle AE\) élének harmadolópontjai \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle L\). A kockát az \(\displaystyle LHG\) és a \(\displaystyle KFG\) síkokkal részekre osztjuk. Mekkora a \(\displaystyle B\) csúcsot tartalmazó rész térfogata?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. február 15-én LEJÁRT. |
B. 3692. Két dobozban kavicsok vannak, az egyikben \(\displaystyle p\), a másikban \(\displaystyle q\) darab. Egy lépésben vagy mindkét dobozból elvehetünk egy-egy kavicsot, vagy pedig az egyik doboz tartalmát megháromszorozhatjuk. Elérhető-e ilyen lépések alkalmas sorozatával, hogy mindkét doboz kiürüljön, ha
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle p=100\), \(\displaystyle q=200\);
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle p=101\), \(\displaystyle q=200\)?
(4 pont)
B. 3693. A pozitív egész \(\displaystyle k\) számot a \(\displaystyle p\) prímszámmal osztva a maradék \(\displaystyle 6\). Ugyanennyi maradékot kapunk akkor is, ha az \(\displaystyle 1000-k\) számot osztjuk \(\displaystyle p\)-vel; tudjuk ezenkívül, hogy \(\displaystyle 10\,000-k\) osztható \(\displaystyle p\)-vel. Melyik ez a \(\displaystyle p\) prímszám?
(3 pont)
B. 3694. Adott az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög. Szerkesszük meg azt a négy, \(\displaystyle A\) csúcson átmenő egyenest, amelyek a négyszöget öt egyenlő területű részre osztják.
(3 pont)
B. 3695. Legyen az \(\displaystyle n\) pozitív egész szám. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle 5^n-8n^2+4n-1\) osztható \(\displaystyle 64\)-gyel.
(3 pont)
B. 3696. Adott egy egyenesen néhány nyílt félegyenes; ezek végpontjai az egyenest részekre osztják. Igazoljuk, hogy a pontosan \(\displaystyle q\) számú félegyenes által lefedett részek száma legfeljebb \(\displaystyle q+1\).
(4 pont)
B. 3697. Oldjuk meg a következő egyenletet: \(\displaystyle x^2+ \left(\frac{5x}{x-5}\right)^{2} =11\).
(4 pont)
B. 3698. Szerkesszünk négyszöget, ha adottak az oldalaira kifelé írt szabályos háromszögeknek a négyszög csúcsaitól különböző csúcsai. A szerkeszthetőség feltételeinek vizsgálatától ezúttal eltekintünk.
(5 pont)
B. 3699. Az egységsugarú kör \(\displaystyle AB\) átmérőjén adott a \(\displaystyle P\) pont. A \(\displaystyle P\) ponton átmenő szelő a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokban metszi a kört. Milyen nagy lehet az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területe?
(5 pont)
B. 3700. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_n\) pozitív számokra
\(\displaystyle \frac{x_1^3}{x_1^2+x_1x_2+x_2^2}+ \frac{x_2^3}{x_2^2+x_2x_3+x_3^2}+ \ldots+ \frac{x_n^3}{x_n^2+x_nx_1+x_1^2} \ge \frac{1}{3} (x_1+x_2+\ldots+ x_n). \)
(5 pont)
B. 3701. Legyen \(\displaystyle P\) egy kocka tetszőleges belső pontja. Mutassuk meg, hogy legalább hat olyan tetraéder van, melynek minden csúcsa a kockának is csúcsa, továbbá tartalmazza a \(\displaystyle P\) pontot.
(4 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. február 15-én LEJÁRT. |
A. 335. Pisti választ egy egész számot, majd ennek néhány példányából a négy alapművelet és zárójelek felhasználásával pozitív egész számokat készít. Például
\(\displaystyle \frac{100\cdot100}{\frac{100}{100}- \frac{100}{100+100}} =20\;000 \)
Egyszer olyan pozitív egész számot sikerült felírnia, amelyben az \(\displaystyle n\) szám \(\displaystyle k\)-szor fordult elő és amely kisebb, mint \(\displaystyle \frac{|n|}{2^k}\). Igazoljuk, hogy Pisti azonosságot írt fel, azaz ha az \(\displaystyle n\) helyére tetszőleges másik értéket ír, akkor a nem értelmezett kifejezésektől eltekintve mindig ugyanazt az eredményt kapja.
(5 pont)
A. 336. Legyen \(\displaystyle a\) olyan páratlan, \(\displaystyle b\) pedig páros pozitív egész, amelyekre \(\displaystyle a^2+b^2=p\) prímszám. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle x^2-py^2=a\) egyenletnek létezik egész megoldása.
(5 pont)
A. 337. Adott a síkban néhány nyílt félsík, melyek határoló egyenesei a síkot konvex tartományokra osztják. Megadandó olyan \(\displaystyle C(q)\) másodfokú polinom, amelyre tetszőleges \(\displaystyle q\ge1\) egész esetén igaz, hogy ha a félsíkok a sík minden pontját legalább \(\displaystyle q\)-szor lefedik, akkor a pontosan \(\displaystyle q\)-szor lefedett pontok halmaza legfeljebb \(\displaystyle C(q)\) darab tartomány egyesítése.
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)