A KöMaL 2004. februári matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. március 15-én LEJÁRT. |
C. 750. Egy vonat a menetrend szerint indul ki az állomásról. 8 kilométer megtétele után a mozdonyvezető az órájára néz és látja, hogy az óra- és a percmutató pontosan fedi egymást. Az első 8 kilométeren a vonat 33 kilométeres óránkénti átlagsebességgel haladt. Mikor indult el a vonat az állomásról?
(5 pont)
C. 751. Egy deltoid oldalai \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) \(\displaystyle (a\ne b)\). A különböző hosszúságú oldalak derékszöget zárnak be. Mekkora annak a körnek a sugara, amely a deltoid mind a négy oldalának meghosszabbítását érinti?
(5 pont)
C. 752. Igazoljuk, hogy ha az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pozitív számok egy mértani sorozat egymást követő elemei, akkor az \(\displaystyle a+b+c\), \(\displaystyle \sqrt{3(ab+bc+ca)}\) és \(\displaystyle \sqrt[3]{27abc}\) is egy mértani sorozat elemei.
(5 pont)
C. 753. Másfél literes ásványvizes palackok övszerűen el vannak keskenyítve, hogy jobban meg lehessen őket fogni. A palack normál kerülete \(\displaystyle 27{,}5~\rm cm\), a derekánál – ami \(\displaystyle 1~\rm cm\) magas hengerpalást – csak \(\displaystyle 21{,}6~\rm cm\). A különböző kerületű hengerpalástokat az öv felett és alatt egyaránt \(\displaystyle 2~\rm cm\) magas csonkakúp palástok kötik össze. Mennyivel magasabbak az ilyen palackok, mint az ugyanolyan űrtartalmú és normál kerületű, öv nélküli társaik?
(5 pont)
C. 754. Oldjuk meg a \(\displaystyle \frac{2003x}{2004}=2003^{\log_x 2004}\) egyenletet.
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. március 15-én LEJÁRT. |
B. 3702. Ketten játsszák a következő játékot. 110 zsetonból felváltva vesznek el legalább egyet és legfeljebb kilencet. A soronkövetkező játékos nem ismételheti meg ellenfele lépését. A játékban az veszít, aki nem tud lépni. Melyik játékosnak van nyerő stratégiája?
(4 pont)
B. 3703. Az \(\displaystyle a_n\) sorozat elemeire teljesül, hogy \(\displaystyle a_1=1337\), továbbá, hogy \(\displaystyle a_{2n+1}= a_{2n}= n-a_n\) minden \(\displaystyle n\) pozitív egész számra. Határozzuk meg \(\displaystyle a_{2004}\) értékét.
(3 pont)
B. 3704. Szerkesszünk háromszöget, ha adott a három oldalfelező merőlegesének az egyenese és egyik oldalegyenesének egy pontja.
(4 pont)
B. 3705. Az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egészek relatív prímek, az \(\displaystyle A=8a+3b\) és a \(\displaystyle B=3a+2b\) számok legnagyobb közös osztója viszont nem \(\displaystyle 1\). Mennyi \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) legnagyobb közös osztója?
(3 pont)
B. 3706. Egy egységnyi élű kocka minden élére egy-egy olyan síkot helyezünk, amely az élre illeszkedő két lap mindegyikével \(\displaystyle 45^{\circ}\)-os szöget zár be és a kockát nem metszi. Mekkora annak a konvex testnek a térfogata, amelyet ez a \(\displaystyle 12\) sík határol?
(3 pont)
B. 3707. Az \(\displaystyle ABCD\) tetraéder élei rendre \(\displaystyle AB=c\), \(\displaystyle BC=a\), \(\displaystyle CA=b\), \(\displaystyle DA=a_1\), \(\displaystyle DB=b_1\), végül \(\displaystyle DC=c_1\). Legyen \(\displaystyle h\) a tetraéder \(\displaystyle D\) csúcsából induló súlyvonalának a hossza. Igazoljuk, hogy
\(\displaystyle h^2= \frac{1}{3} \big(a_1^2+b_1^2+c_1^2\big)- \frac{1}{9} \big(a^2+b^2+c^2\big). \)
(4 pont)
B. 3708. Adott a \(\displaystyle P\) pont, a \(\displaystyle k\) kör és a \(\displaystyle P\)-n átmenő \(\displaystyle AB\) szelő, amelyre \(\displaystyle PA=AB=1\). A \(\displaystyle P\)-ből a \(\displaystyle k\)-hoz húzott érintők a \(\displaystyle C\) és a \(\displaystyle D\) pontban érintik a \(\displaystyle k\) kört, \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) metszéspontja \(\displaystyle M\). Mekkora a \(\displaystyle PM\) távolság?
(4 pont)
B. 3709. Tekintsük az \(\displaystyle ax^2+bx+c=0\) másodfokú egyenletet, amelynek együtthatóira
\(\displaystyle 2a+3b+6c=0. \)
Bizonyítsuk be, hogy az egyenletnek van olyan \(\displaystyle x\) gyöke, amelyre \(\displaystyle 0<x<1\).
(4 pont)
B. 3710. Az \(\displaystyle A_1A_2A_3\) hegyesszögű, nem egyenlő szárú háromszög \(\displaystyle A_i\) csúcsából induló magasságának talppontja \(\displaystyle T_i\). Legyen \(\displaystyle B_i\) az \(\displaystyle A_jA_k\) és a \(\displaystyle T_jT_k\) egyenesek metszéspontja (ahol \(\displaystyle i\), \(\displaystyle j\) és \(\displaystyle k\) között nincsenek egyenlők). Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle B_2\), \(\displaystyle B_3\) pontok egy egyenesen vannak.
(5 pont)
B. 3711. Az \(\displaystyle s_1, s_2,\dots,s_{2004}\) nemnegatív valós számok összege \(\displaystyle 2\), továbbá tudjuk, hogy
\(\displaystyle s_1s_2+s_2s_3+\ldots+s_{2003}s_{2004}+s_{2004}s_1=1. \)
Határozzuk meg ezen feltételek mellet az \(\displaystyle S=s_1^2+s_2^2+\ldots+s_{2004}^2\) kifejezés lehetséges legkisebb és legnagyobb értékét.
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. március 15-én LEJÁRT. |
A. 338. Tetszőleges pozitív egész \(\displaystyle n\) számra jelölje \(\displaystyle f(n)\) a \(\displaystyle \sqrt{n}\)-hez legközelebb eső egészt. Számítsuk ki a
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{f(n)}+2^{-f(n)}}{2^n} \)
összeg értékét.
(5 pont)
A. 339. Egy \(\displaystyle 28\)-elemű halmazból \(\displaystyle 4\)-elemű részhalmazokat akarunk kiválasztani a következő tulajdonságokkal:
\(\displaystyle a)\) Bármelyik két kiválasztott négyesnek legfeljebb két közös eleme legyen;
\(\displaystyle b)\) Ha \(\displaystyle x\) egy tetszőleges elem és \(\displaystyle A\) egy olyan négyes, amely nem tartalmazza \(\displaystyle x\)-et, akkor létezzen legalább egy olyan \(\displaystyle B\) négyes is, amely az \(\displaystyle x\)-et tartalmazza, és \(\displaystyle A\)-val pontosan két közös eleme van.
Lehetséges-e ilyen négyeseket kiválasztani?
(5 pont)
A. 340. Lehet-e egy egységnyi sugarú kör belsejében fekvő parabolaív hossza \(\displaystyle 4\) egységnél nagyobb?
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)