A KöMaL 2004. márciusi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. április 15-én LEJÁRT. |
C. 755. Hányféleképpen lehet 1000 Ft-ot felváltani kizárólag 1, 2 és 5 Ft-os érmék felhasználásával?
(5 pont)
C. 756. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán:
\(\displaystyle \frac{|1-x|}{1-|x|}< \frac{1+|x|}{|1+x|}. \)
(5 pont)
C. 757. \(\displaystyle n^3\) darab egységkockából egy \(\displaystyle n\) élű nagy kockát állítottunk össze. Van-e olyan \(\displaystyle n\) érték, melyre a nagy kocka testátlói által metszett kis kockák száma éppen fele a testátlók által nem metszett kis kockák számának?
(5 pont)
C. 758. Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle \sqrt2\). A háromszög legkisebb szöge \(\displaystyle \alpha\). Mekkora a \(\displaystyle \cos8\alpha\) pontos értéke?
(5 pont)
C. 759. Az \(\displaystyle (x;y)\) koordinátasík minden \(\displaystyle P(x;y)\) pontjához hozzárendeljük a \(\displaystyle P'(x-y;-y)\) pontot. Melyek azok az egyenesek, amelyek ezen transzformáció során önmagukba mennek át?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. április 15-én LEJÁRT. |
B. 3712. Egy vendégség nyolc résztvevője egymás közt új ismeretségeket kötött az este folyamán. Távozáskor mindegyikük felírta egy lapra, hogy hány emberrel ismerkedett meg a vendégek közül. Az alábbi számok kerültek a papírra: 1, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 6. Bizonyítsuk be, hogy volt olyan résztvevő, aki rosszul számolt. (Az ismeretségek kölcsönösek.)
(3 pont)
B. 3713. Egy konvex \(\displaystyle ABCD\) négyszög átlóinak metszéspontja \(\displaystyle M\). Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle M\) rajta van az \(\displaystyle ABM\) háromszög súlypontját a \(\displaystyle CDM\) háromszög súlypontjával összekötő egyenesen, akkor a négyszög trapéz.
(3 pont)
B. 3714. Szerkesszünk háromszöget, ha adott a kerülete, egy oldala és az adott oldallal szemközti szöge.
(4 pont)
B. 3715. Legyen \(\displaystyle x\) pozitív szám, \(\displaystyle n\) pedig \(\displaystyle 1\)-nél nagyobb egész. Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle \frac{x^{n-1}-1}{n-1}\le \frac{x^n-1}{n}. \)
(4 pont)
B. 3716. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
$$\begin{gather*} x^2+7y+2=2z+4\sqrt{7x-3},\\[6pt] y^2+7z+2=2x+4\sqrt{7y-3},\\[6pt] z^2+7x+2=2y+4\sqrt{7z-3}. \end{gather*}$$(3 pont)
B. 3717. Adjuk meg azt a legkisebb kerületű egységnyi területű \(\displaystyle H\) téglalapot, amelyhez létezik olyan \(\displaystyle H_1\) téglalap, amelynek a kerülete 50%-kal kisebb, mint a \(\displaystyle H\) kerülete, területe pedig 50%-kal nagyobb, mint a \(\displaystyle H\) területe.
(4 pont)
B. 3718. Bizonyítsuk be, hogy egy háromszög körülírható körének középpontján áthaladó tetszőleges egyenesnek a középvonalakra vett tükörképei egy ponton mennek át.
(5 pont)
B. 3719. Adott öt pont egy gömb felületén. Bizonyítsuk be, hogy van olyan zárt félgömbfelület, amely e pontok közül legalább négyet tartalmaz.
(4 pont)
B. 3720. Létezik-e olyan \(\displaystyle u\), \(\displaystyle v\) valós számpár, amelyre
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle u+v\) racionális, de minden \(\displaystyle n\ge 2\) egész szám esetén \(\displaystyle u^n+v^n\) irracionális;
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle u+v\) irracionális, de minden \(\displaystyle n\ge 2\) egész szám esetén \(\displaystyle u^n+v^n\) racionális?
(5 pont)
B. 3721. Tekintsünk egy \(\displaystyle S\) halmazt és a halmazon egy kétváltozós \(\displaystyle *\) műveletet (tehát bármely két \(\displaystyle S\)-beli \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) esetén \(\displaystyle a*b\) is \(\displaystyle S\)-beli). Tegyük föl, hogy \(\displaystyle (a*b)*a=b\) teljesül minden \(\displaystyle S\)-beli \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\)-re. Bizonyítsuk be, hogy ekkor \(\displaystyle a*(b*a)=b\) is teljesül minden \(\displaystyle S\)-beli \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\)-re.
(4 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. április 15-én LEJÁRT. |
A. 341. Milyen \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) pozitív egészek esetén lehet az \(\displaystyle 1,2,\dots,n\) számokat \(\displaystyle k\) csoportra osztani úgy, hogy a számok összege minden csoportban ugyanannyi legyen?
(5 pont)
A. 342. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle 4k+1\) alakú \(\displaystyle p\) prímszámra
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{p-1} \big[\sqrt{np}\; \big] =\frac{(p-1)(2p-1)}{3}. \)
(5 pont)
A. 343. Az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív valós számok összege \(\displaystyle 1\)-nél kisebb. Határozzuk meg az összes olyan folytonos \(\displaystyle G\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) függvényt, amelyre tetszőleges \(\displaystyle x\) valós szám esetén
\(\displaystyle g\big(g(x)\big)=ag(x)+bx. \)
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)