A KöMaL 2004. áprilisi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. május 15-én LEJÁRT. |
C. 760. Egy üzletben 1000 forintossal fizettünk. A blokkon a fizetendő és a visszajáró összeg ugyanazokból a számjegyekből állt, csak más sorrendben. Mennyi a számjegyek összege?
(5 pont)
C. 761. Egy háromszög két oldalának hossza adott, továbbá tudjuk, hogy az ezekhez tartozó súlyvonalak merőlegesek egymásra. Számítsuk ki a harmadik oldal hosszát.
(5 pont)
C. 762. A \(\displaystyle K_1\) kocka körülírt gömbjének a felszíne kétszer akkora, mint a \(\displaystyle K_2\) kocka beírt gömbjének a felszíne. Jelölje \(\displaystyle V_1\) a \(\displaystyle K_1\) kocka beírt gömbjének a térfogatát, \(\displaystyle V_2\) pedig a \(\displaystyle K_2\) kocka körülírt gömbjének a térfogatát. Mekkora a \(\displaystyle \frac{V_1}{V_2}\) arány?
(5 pont)
C. 763. Egy sarokban lévő állványon három, \(\displaystyle 30~{\rm cm} \times 40~{\rm cm}\)-es polc van, a szomszédosak távolsága egyenlő. Ahol a két fal és a középső polc találkozik, három pók tanyázott. Egyszer egyikük az egyik falon ferdén felmászott a felső polc sarkához, másikuk a másik falon ferdén lemászott az alsó polc sarkához. A harmadik pók a helyén maradt, és megállapította, hogy arról a helyről társai \(\displaystyle 120^{\circ}\)-os szögben látszanak. Mekkora a polcok távolsága? (A szomszédos polcok ugyanakkora távolságra vannak egymástól.)
(5 pont)
C. 764. Adott az \(\displaystyle s\) valós szám. Oldjuk meg az
| \(\displaystyle (1) \) | \(\displaystyle \log_{\frac{1}{s}}\log_s x >\log_s \log_s x \) |
egyenlőtlenséget.
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. május 15-én LEJÁRT. |
B. 3722. Az \(\displaystyle O_1\) középpontú \(\displaystyle 4~\rm cm\) sugarú és az \(\displaystyle O_2\) középpontú \(\displaystyle 6~\rm cm\) sugarú körök metszéspontjaira illeszkedő szelő \(\displaystyle T\) pontban metszi az \(\displaystyle O_1O_2\) szakaszt, amelyről tudjuk, hogy a hossza nem kisebb \(\displaystyle 6~\rm cm\)-nél. A nagyobb kör \(\displaystyle A\) pontban, a kisebb kör \(\displaystyle B\) pontban metszi az \(\displaystyle O_1O_2\) szakaszt és \(\displaystyle AT:BT = 1:2\). Számítsuk ki az \(\displaystyle O_1O_2\) szakasz hosszát.
(3 pont)
B. 3723. Ötszögekből és hatszögekből egy olyan konvex testet készítettünk, melynek minden csúcsában 3 lap találkozik, minden ötszögnek 5 hatszöggel és minden hatszögnek 3 ötszöggel van közös éle. Hány lapja van a testnek?
(4 pont)
B. 3724. Melyek azok a \(\displaystyle p(x)\) polinomok, amelyekre a \(\displaystyle p(x)\cdot p(x+1)\) és a \(\displaystyle p\big(x+p(x)\big)\) polinomok azonosak?
(4 pont)
B. 3725. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív számok, akkor
\(\displaystyle 2\sqrt a+3\sqrt[3] {b}\ge 5\sqrt[5]{ab}. \)
(3 pont)
B. 3726. Milyen számjegy áll a \(\displaystyle \big(3+\sqrt{7}\,\big)^{2004}\) számban a tizedesvessző előtt?
(4 pont)
B. 3727. Egy konvex négyszög bármely két szemközti oldalára teljesül, hogy az oldalak felezőpontjai közötti távolság négyzete fele a két oldal négyzetösszegének. Bizonyítandó, hogy a négyszög rombusz.
(4 pont)
B. 3728. Tekintsük azt a sorozatot, amelyre \(\displaystyle a_0=1\), továbbá \(\displaystyle a_{2n+1}=a_n\) és \(\displaystyle a_{2n+2}=a_n+a_{n+1}\) teljesül minden \(\displaystyle n\ge 0\) egész számra. Bizonyítsuk be, hogy az
\(\displaystyle \left\{ \frac{a_{n+1}}{a_n} \colon n\ge 1\right\}= \left\{\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{1}{3}, \frac{3}{2},\dots\right\} \)
halmazban valamennyi pozitív racionális szám előfordul.
(5 pont)
B. 3729. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe egységnyi. Az \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) és a \(\displaystyle G\) pontok rendre a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) illetve \(\displaystyle AB\) oldalakon vannak úgy, hogy \(\displaystyle AE\) az \(\displaystyle R\) pontban felezi \(\displaystyle BF\)-et, \(\displaystyle BF\) az \(\displaystyle S\) pontban felezi \(\displaystyle CG\)-t, végül \(\displaystyle CG\) a \(\displaystyle T\) pontban felezi \(\displaystyle AE\)-t. Mekkora az \(\displaystyle RST\) háromszög területe?
(5 pont)
B. 3730. Az \(\displaystyle a\) sugarú \(\displaystyle k_a\) és az \(\displaystyle (a>b)\) sugarú \(\displaystyle k_b\) körök közös középpontja \(\displaystyle O\). A \(\displaystyle k_a\)-n lévő \(\displaystyle A\) pontból \(\displaystyle k_b\)-hez húzott egyik érintő érintési pontja \(\displaystyle E\). Az \(\displaystyle OE\) sugárra annak tetszőleges \(\displaystyle P\) pontjában állított merőleges a \(\displaystyle k_b\)-t a \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) pontokban, az \(\displaystyle AO\) egyenest pedig a \(\displaystyle T\) pontban metszi. Az \(\displaystyle AO\)-ra \(\displaystyle T\)-ben állított merőlegesre \(\displaystyle T\)-ből felmérve a \(\displaystyle PQ\) távolságot kapjuk az \(\displaystyle S_1\) és \(\displaystyle S_2\) pontokat. Mi az \(\displaystyle S_i\) pontok mértani helye, ha \(\displaystyle P\) befutja az \(\displaystyle OE\) sugarat?
(4 pont)
B. 3731. Hány olyan \(\displaystyle \overline{a_1a_2\dots a_{2n}}\) pozitív egész szám van, amelyre teljesül, hogy egyik számjegye sem \(\displaystyle 0\) és az
\(\displaystyle a_1a_2+a_3a_4+\ldots+a_{2n-1}a_{2n} \)
összeg páros?
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. május 15-én LEJÁRT. |
A. 344. Létezik-e olyan rácstéglalap, amit fel lehet osztani az ábrán látható mintával egybevágó rácsötszögekre?
(5 pont)
A. 345. Legyenek \(\displaystyle r\) és \(\displaystyle s\) tetszőleges pozitív egészek, és legyen \(\displaystyle t\) a \(\displaystyle 2^k \big(\lceil r/2^k \rceil + \lceil s/2^k \rceil -1\big)\) függvény minimuma a nemnegatív egész \(\displaystyle k\) értékeken.
Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle (a)\) \(\displaystyle \binom{t}{j}\) páros, valahányszor \(\displaystyle t-s<j<r\);
\(\displaystyle (b)\) \(\displaystyle t\) a legkisebb ilyen tulajdonságú szám.
(\(\displaystyle \lceil x\rceil\) az \(\displaystyle x\) szám felső egész része; a legkisebb egész szám, amely nem kisebb \(\displaystyle x\)-nél.)
(5 pont)
A. 346. Határozzuk meg azokat az \(\displaystyle f\colon \mathbb{Q}\to\mathbb{R}\) függvényeket, amelyekre tetszőleges \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számok esetén \(\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)\) és \(\displaystyle f(x+y)\le\max \big(f(x),f(y)\big)\).
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)