A KöMaL 2004. májusi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. június 15-én LEJÁRT. |
C. 765. Egy kihúzható kerek asztal átmérője 1 méter. Kihúzott állapotban az asztallap két félkör alakú része közé egy \(\displaystyle 1~{\rm m} \times 0{,}5~\rm m\)-es téglalap illeszkedik. Van-e ekkor az asztallapnak két, egymástól 150 cm-nél távolabb lévő pontja?
(5 pont)
C. 766. A konyhában lévő falióra naponta 2 másodpercet késik, a szobában lévő antik óra naponta 15 másodpercet siet. Vasárnap délben a falióra 12 óra 1 percet, az antik óra 11 óra 59 percet mutat. Mikor lesz a hét folyamán az órák által mutatott és a valódi idő közötti különbségek négyzetösszege a legkisebb?
(5 pont)
C. 767. Határozzuk meg az összes olyan nem negatív \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számot, amelyre: \(\displaystyle \sqrt{a-b+c}=\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}\).
(5 pont)
C. 768. Két egységnyi sugarú kör az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokban metszi egymást. Egyik közös érintőjük az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontokban érinti a köröket. Mekkora lehet annak a körnek a sugara, amelyik áthalad az \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle A\) pontokon?
(5 pont)
C. 769. Egy \(\displaystyle 20~\rm cm\) sugarú henger az \(\displaystyle e\) egyenes mentén érinti a sík talajt. Az \(\displaystyle e\) egyenesre merőlegesen egy \(\displaystyle 50~\rm cm\) hosszú pálcát támasztunk a hengernek úgy, hogy a pálca talajon lévő végpontja \(\displaystyle 40~\rm cm\)-re van az \(\displaystyle e\) egyenestől. Milyen magasan van a pálca másik végpontja?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. június 15-én LEJÁRT. |
B. 3732. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének a középpontja \(\displaystyle O\) és az \(\displaystyle AO\), illetve a \(\displaystyle BO\) egyenesek az \(\displaystyle A_1\), illetve a \(\displaystyle B_1\) pontokban metszik a \(\displaystyle BC\), illetve az \(\displaystyle AC\) oldalakat. Tudjuk, hogy \(\displaystyle OA_1 = OB_1\). Következik-e ebből, hogy a háromszög egyenlő szárú?
(3 pont)
B. 3733. Van-e olyan \(\displaystyle m\) egész szám, amelyre \(\displaystyle 100+m\cdot101\) és \(\displaystyle 101-m\cdot100\) nem relatív prímek?
(4 pont)
B. 3734. Van-e olyan derékszögű háromszög, melynek oldalai egész számok és amelyet egyik befogója mint tengely körül megforgatva a keletkező forgáskúp felszínének és térfogatának mérőszáma egyenlő?
(3 pont)
B. 3735. Az \(\displaystyle x_n\) sorozat első két eleme \(\displaystyle x_1=1001\), \(\displaystyle x_2=1003\) és ha \(\displaystyle n \ge 1\), akkor \(\displaystyle x_{n+2}= \frac{x_{n+1}-2004}{x_n}\). Mennyi a sorozat első \(\displaystyle 2004\) elemének az összege?
(4 pont)
B. 3736. Az egységnyi oldalú \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle CD\) oldalán adott az \(\displaystyle N\), \(\displaystyle CB\) oldalán pedig az \(\displaystyle M\) pont úgy, hogy az \(\displaystyle MCN\) háromszög kerülete \(\displaystyle 2\). Mekkora az \(\displaystyle MAN\sphericalangle\)?
(4 pont)
B. 3737. Egy konvex négyszög bármely két szemközti oldalára teljesül, hogy az oldalak középpontjai közötti távolság fele a hosszuk összegének. Bizonyítandó, hogy a négyszög rombusz.
(4 pont)
B. 3738. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:
\(\displaystyle x-2= \sqrt{4-3\sqrt{4-3\sqrt{10-3x}}}. \)
(4 pont)
B. 3739. Az \(\displaystyle a\) valós számra teljesül, hogy \(\displaystyle a^5-a^3+a=2\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle 3<a^6<4\).
(5 pont)
B. 3740. Tekintsük az
\(\displaystyle a_0=1,\quad a_1= \frac{1}{3},\quad a_{n+1}= \frac{2a_n}{3}-a_{n-1}\quad (n\ge 1) \)
rekurzióval meghatározott sorozatot. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan \(\displaystyle n\) pozitív egész szám, amelyre \(\displaystyle a_n>0{,}9999\).
(5 pont)
B. 3741. Hány olyan sík van, amely szabályos hatszögben metsz egy szabályos oktaédert?
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. június 15-én LEJÁRT. |
A. 347. Legyen \(\displaystyle ABC\) egy szabályostól különböző háromszög és \(\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}\). A háromszög \(\displaystyle AB\) oldalán vegyük fel az \(\displaystyle A_1\) és \(\displaystyle A_2\) pontokat, a \(\displaystyle BC\) oldalon a \(\displaystyle B_1\) és \(\displaystyle B_2\) pontokat, a \(\displaystyle CA\) oldalon pedig a \(\displaystyle C_1\) és \(\displaystyle C_2\) pontokat úgy, hogy
\(\displaystyle \frac{AA_1}{AB}= \frac{A_2B}{AB}= \frac{BB_1}{BC}= \frac{B_2C}{BC}= \frac{CC_1}{CA}= \frac{C_2A}{CA}=t \)
teljesüljön. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) és \(\displaystyle A_2B_2C_2\) körök hatványvonala nem függ a \(\displaystyle t\) szám megválasztásától.
(5 pont)
A. 348. Legyen \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\) egy divergens sor, amelynek tagjai pozitívak és monoton csökkennek. Igazoljuk, hogy a
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1+na_n} \)
sor divergens.
(5 pont)
A. 349. Egy \(\displaystyle n\times n\)-es táblázat elemei legfeljebb \(\displaystyle 1\) abszolút értékű valós számok, összegük \(\displaystyle 0\). Mutassuk meg, hogy a táblázatnak létezik olyan sora vagy oszlopa, amelyben a számok összegének abszolút értéke legfeljebb \(\displaystyle \frac{n}{2}\).
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)