A KöMaL 2004. szeptemberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
K-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. október 10-én LEJÁRT. |
K. 1. A sakktáblán B8-on és G8-on áll egy-egy gyalog, B1-en pedig egy huszár. Mennyi a lehető legkevesebb lépés, amellyel le tudja ütni a huszár mindkét gyalogot? (A gyalogok eközben nem mozognak.)
(6 pont)
K. 2. Az ábrán megjelölt, \(\displaystyle \mathbf{2}\)-est tartalmazó mezőről el kell jutnunk a megjelölt \(\displaystyle \textbf{8}\)-as mezőig. Minden négyzeten maximum egyszer haladhatunk át, minden mezőről a vele oldalban szomszédos mezőre léphetünk. Az így érintett számokat összegezzük. Mennyi a legnagyobb összeg, amit így kaphatunk?
(6 pont)
K. 3. A koordinátarendszerben megadtunk egy négyszöget a csúcsaival: \(\displaystyle A(0;0)\), \(\displaystyle B(5;0)\), \(\displaystyle C(3;2)\), \(\displaystyle D(0;1)\). Mutassuk meg, hogy a négyszög átlói \(\displaystyle 45^\circ\)-os szöget zárnak be egymással.
(6 pont)
K. 4. Határozzuk meg a \(\displaystyle p\) és a \(\displaystyle q\) (pozitív) prímszámokat, ha
\(\displaystyle p + p^{2} + p^{4} - q - q^{2} - q^{4} = 83\;805. \)
(6 pont)
K. 5. Ha egy egyenlőszárú háromszög szögfelezőinek metszéspontjából merőlegeseket állítunk az oldalakra, a három merőleges két kisebb és egy nagyobb deltoidra bontja a háromszöget. Melyik egyenlőszárú háromszögnél lesz a két kisebb deltoid területének összege egyenlő a nagyobb deltoid területével?
(6 pont)
K. 6. Egy szigeten kétféle ember él: jó és rossz. A jók mindig igazat mondanak, a rosszak mindig hazudnak. Természetesen mindenki vagy fiú vagy lány a szigeten. Egyszer két ember a következőket mondta kettejükre vonatkozóan:
– Ali: Rosszak vagyunk.
– Bali: Fiúk vagyunk.
Állapítsuk meg mindkettőről, hogy jó-e és hogy milyen nemű!
(6 pont)
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. október 15-én LEJÁRT. |
C. 770. Egy 35 fős osztály tanulói két csoportba oszthatók: a kockafejűekre és az égimeszelőkre. Az égimeszelők állítják, hogy magasabbak a kockafejűeknél, akik viszont jobb matekosnak tartják magukat. Egyikük egyszer azt kérdezte egy égimeszelőtől: ,,Mit értetek azon, hogy ti magasabbak vagytok nálunk? Talán azt, hogy
1. Minden égimeszelő magasabb valamennyi kockafejűnél?
2. A legmagasabb égimeszelő magasabb a legmagasabb kockafejűnél?
3. Minden égimeszelő magasabb valamelyik kockafejűnél?
4. Minden kockafejű alacsonyabb valamelyik égimeszelőnél?
5. A legalacsonyabb kockafejű alacsonyabb a legalacsonyabb égimeszelőnél?''
A kérdések hallatán az égimeszelő szemmel láthatóan összezsugorodott ... A feladat viszont az, hogy megállapítsuk, milyen viszonyban állnak a fenti kijelentések, azaz bármely két állítás esetén döntsük el, következik-e egyikükből a másik.
(5 pont)
C. 771. Matekváros és Fizikaváros különböző időzónában találhatók. Egy repülő helyi idő szerint reggel 8-kor indul Fizikavárosból, és még aznap helyi idő szerint délben érkezik Matekvárosba. A járat két óra múlva visszaindul és ugyancsak helyi idő szerint este 8 órakor érkezik Fizikavárosba. Az utazás mindkét irányban ugyanannyi ideig tart. Mennyi az idő Fizikavárosban akkor, amikor Matekvárosban dél van?
(5 pont)
C. 772. Történt egyszer egy matematikaórán, hogy egy diák az \(\displaystyle {(a+2b-3)}^2\) négyzetre emelést rosszul végezte el, és \(\displaystyle a^2+4b^2-9\) lett az eredménye. Tanára kérésére ellenőrzésképpen behelyettesített \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) helyére egy-egy természetes számot. A behelyettesítés után az eredmény helyesnek bizonyult. Mely számokat helyettesíthette a tanuló?
(5 pont)
C. 773. Egy trapéz alakú földdarab párhuzamos oldalai 2100 méter és 1500 méter, a szárak hossza pedig 613 méter és 37 méter. Hány négyszögöl a telek területe?
(5 pont)
C. 774. Mekkora területű a derékszögű koordinátarendszerben azoknak a \(\displaystyle P(x;y)\) pontoknak a halmaza, amelyekre teljesül, hogy \(\displaystyle |x+y|+|x-y|\le 4\)?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. október 15-én LEJÁRT. |
B. 3742. Egy 35 fős osztály tanulói két csoportba oszthatók: a kockafejűekre és az égimeszelőkre. Az égimeszelők állítják, hogy magasabbak a kockafejűeknél, akik viszont jobb matekosnak tartják magukat. Egyikük egyszer azt kérdezte egy égimeszelőtől: ,,Mit értetek azon, hogy ti magasabbak vagytok nálunk? Talán azt, hogy
1. Minden égimeszelő magasabb valamennyi kockafejűnél?
2. Több alacsonyabb kockafejű van a legalacsonyabb égimeszelőnél, mint ahány alacsonyabb égimeszelő van a legmagasabb kockafejűnél?
3. Többen vannak azok az égimeszelők, akiknél vannak alacsonyabb kockafejűek, mint azok a kockafejűek, akiknél vannak alacsonyabb égimeszelők?
4. A kockafejűek átlagmagassága kisebb az égimeszelők átlagmagasságánál?''
A kérdések hallatán az égimeszelő szemmel láthatóan összezsugorodott ... A feladat viszont az, hogy megállapítsuk, milyen viszonyban állnak a fenti kijelentések, azaz bármely két állítás esetén döntsük el, következik-e egyikükből a másik.
(4 pont)
B. 3743. Vágjuk szét az ábrán látható paralelogrammát két részre úgy, hogy a részekből egy egységnyi élű kockát lehessen hajtogatni.
(5 pont)
B. 3744. Hány olyan \(\displaystyle n\) pozitív egész szám van, amelyre \(\displaystyle n^2+10n\) négyzetszám?
(3 pont)
B. 3745. Az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) számokra teljesül, hogy \(\displaystyle a+b>|c-d|\) és \(\displaystyle c+d>|a-b|\). Bizonyítsuk be, hogy ekkor \(\displaystyle a+c>|b-d|\).
(3 pont)
B. 3746. Az egyenlő oldalú \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) oldalán adottak az \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) pontok, a \(\displaystyle BC\) oldalon a \(\displaystyle P\), a \(\displaystyle CA\) oldalon pedig a \(\displaystyle Q\) pont úgy, hogy
\(\displaystyle MA+AQ=NB+BP=AB. \)
Mekkora szöget zárhatnak be az \(\displaystyle MP\) és az \(\displaystyle NQ\) egyenesek?
(4 pont)
B. 3747. Egy háromszög oldalai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), területe \(\displaystyle \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{4}\). Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?
(4 pont)
B. 3748. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle C\) csúcsából induló magasságvonal és súlyvonal harmadolják a \(\displaystyle BCA\) szöget. Igazoljuk, hogy a háromszög derékszögű.
(4 pont)
B. 3749. Egy téglalap oldalai 5 cm és 9 cm hosszúak. A téglalapot feldaraboljuk tíz olyan téglalapra, amelyek oldalhosszai cm-ben kifejezve egész számok. Bizonyítsuk be, hogy a darabok között van két egybevágó.
(5 pont)
B. 3750. Az \(\displaystyle \{a_n\}\) sorozatról tudjuk, hogy \(\displaystyle a_1 < a_2\) pozitív egész szám, továbbá \(\displaystyle k\ge 3\) esetén \(\displaystyle a_k = 4a_{k-1}-3a_{k-2}\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle a_{45} > 3^{43}\).
(4 pont)
B. 3751. Legyen \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{1-x}\). Határozzuk meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, ahol minden pozitív egész \(\displaystyle n\) esetén az
\(\displaystyle f^{(n)}(x)=\underbrace{f \big(f\big(\dots\big(f}_{n\text{~db}}(x)\big)\dots \big)\big) \)
összetett függvény értelmezhető.
(4 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. október 15-én LEJÁRT. |
A. 350. Adjuk meg az összes pozitív \(\displaystyle p\) egészt, melyre a \(\displaystyle 4x^2+p\) polinom a \(\displaystyle 0,1, \dots ,p-1\) helyeken prím értéket vesz fel.
(5 pont)
A. 351. Legyenek \(\displaystyle a_1, a_2, \dots ,a_n\) pozitív számok, melyek összege \(\displaystyle S\), szorzata \(\displaystyle P\), \(\displaystyle n\geq 3\).
Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{S-a_i}< \sqrt[n-1]{\frac{S}{P}}. \)
(5 pont)
A. 352. Az \(\displaystyle ABC\) nem egyenlő szárú háromszög körülírt köre legyen \(\displaystyle k\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle C\)-nél levő belső szögfelezője messe a \(\displaystyle k\) kör \(\displaystyle B\)-beli érintőjét \(\displaystyle K\)-ban, míg a \(\displaystyle C\)-nél levő külső szögfelező \(\displaystyle C\)-től különböző metszéspontja \(\displaystyle k\)-val \(\displaystyle L\). Legyen az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle LB\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle M\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle MK\) egyenes átmegy az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontján.
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)