A KöMaL 2004. októberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
K-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. november 10-én LEJÁRT. |
K. 7. Hányféleképpen lehet eljutni a sakktáblán a legrövidebb úton (a legkevesebb lépéssel) C5-ről H2-re a királlyal?
(6 pont)
K. 8. A képen egy egyfővonalas vasútállomás vázlatos felülnézeti rajza látható. Hány különböző útvonalon haladhat át a vasútállomáson egy balról érkező vonat?
(6 pont)
K. 9. Egy \(\displaystyle 12~\rm cm\) élhosszúságú kocka alakú edényt az \(\displaystyle \frac{5}{8}\) részéig megtöltöttük folyadékkal, majd az egyik éle mentén megbillentettük egy kicsit. Az ábra az edény keresztmetszetét mutatja a benne lévő folyadék vízszintjével. Tudjuk, hogy az \(\displaystyle LC\) szakasz hossza pontosan a \(\displaystyle KB\) szakasz hosszának a kétszerese. Adjuk meg az \(\displaystyle LC\) szakasz hosszát.
(6 pont)
K. 10. Adjuk meg az összes olyan négyzetszámot, melynek minden számjegye páratlan.
(6 pont)
K. 11. Az asztalra letettünk egy záródó láncba 6 különböző dominót. A dominókon összesen \(\displaystyle D\) pont van. Mennyi \(\displaystyle D\) lehetséges legkisebb értéke? (A dominók mindkét oldalán \(\displaystyle 0\)–\(\displaystyle 6\)-ig mehet a pontok száma és az érintkező dominóoldalakon azonos számú pontnak kell lenni.)
(6 pont)
K. 12. Hány pozitív egész szám írható \(\displaystyle n\) helyére, ha \(\displaystyle 2004^{n}\) osztója \(\displaystyle 2004!\)-nak? [\(\displaystyle 2004!\) jelöli \(\displaystyle 1\)–\(\displaystyle 2004\)-ig az egész számok szorzatát.]
(6 pont)
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. november 15-én LEJÁRT. |
C. 775. Pistike eredeti módon számlál az ujjain. \(\displaystyle 1\)-gyel kezdi a hüvelykujján, ezután a \(\displaystyle 2\)-t és a \(\displaystyle 3\)-at a mutatóujján, a \(\displaystyle 4\)-et, \(\displaystyle 5\)-öt és a \(\displaystyle 6\)-ot a középső ujján, a \(\displaystyle 7\)-et a gyűrűsujján, a \(\displaystyle 8\)-at és \(\displaystyle 9\)-et a kisujján. Ezután visszafelé folytatja, a \(\displaystyle 10\)-et, \(\displaystyle 11\)-et, \(\displaystyle 12\)-t megint a gyűrűsujján, \(\displaystyle 13\)-at a középsőn, \(\displaystyle 14\)-et és \(\displaystyle 15\)-öt a mutatón, \(\displaystyle 16\)-ot, \(\displaystyle 17\)-et, \(\displaystyle 18\)-at a hüvelykujján, \(\displaystyle 19\)-et ismét visszafelé a mutatóujján és így tovább. Melyik ujján számolja a \(\displaystyle 2004\)-et?
(5 pont)
C. 776. Mutassunk példát olyan derékszögű háromszögre, amely felbontható öt egybevágó háromszögre.
(5 pont)
C. 777. Az özönvíz előtti jegykezelő gépek a menetjegy kilenc számozott mezője közül néhányat – akár az összeset – kilyukasztanak. A gépek beállítójától az ellenőrök azt kérik, hogy a gép ne ugyanazokat a mezőket lyukassza, ha valaki nem az előírásnak megfelelően, hanem lapjával fordítva helyezi be a jegyét. Hány ilyen beállítása lehetséges a gépnek?
(5 pont)
C. 778. Egy számtani sorozatban jelölje \(\displaystyle S_m\) a sorozat első \(\displaystyle m\) elemének az összegét. Bizonyítsuk be, hogy minden \(\displaystyle n>k\geq 1\) esetén
\(\displaystyle \frac{S_{n+k}}{n+k}= \frac{S_n-S_k}{n-k}. \)
(5 pont)
C. 779. Egy \(\displaystyle 12\times 12\times 35~\rm cm\)-es, \(\displaystyle 5~\rm kg\) tömegű gépsonkát ferdén vágtunk el úgy, hogy a paralelogramma alakú metszet oldalhosszúsága \(\displaystyle 15\) és \(\displaystyle 20~\rm cm\). Mekkora lehet a keletkezett két darab tömege?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. november 15-én LEJÁRT. |
B. 3752. Mutassuk meg, hogy ha egy konvex nyolcszög szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlők, akkor a sokszög feldarabolható paralelogrammákra.
(3 pont)
B. 3753. Jelölje \(\displaystyle S_m\) az \(\displaystyle (a_m)\) sorozat első \(\displaystyle m\) elemének az összegét. Bizonyítsuk be, hogy ha minden \(\displaystyle n\ne k\) pozitív egészre teljesül, hogy
\(\displaystyle \frac{S_{n+k}}{n+k}= \frac{S_n-S_k}{n-k}, \)
akkor \(\displaystyle (a_m)\) számtani sorozat.
(3 pont)
B. 3754. Bizonyítsuk be, hogy a szabályos háromszög nem bontható föl öt egybevágó háromszögre.
(5 pont)
B. 3755. Egy kör úgy metszi egy konvex négyszög oldalait egy-egy szakaszban, hogy a négyszög belsejébe eső szemközti körívek hosszának összege egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög húrnégyszög.
(4 pont)
B. 3756. A nyolcjegyű számokat osszuk két halmazba. Az egyik halmazba kerüljenek azok, amelyek felbonthatók két négyjegyű szám szorzatára, a másikba azok, amelyek nem. Melyik halmazba kerül több szám?
(5 pont)
B. 3757. A \(\displaystyle k_1\) és a \(\displaystyle k_2\) körök az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle B\) pontokban metszik egymást, egyik közös érintőjük pedig az \(\displaystyle E_1\), illetve az \(\displaystyle E_2\) pontokban érinti a köröket. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle E_1\), \(\displaystyle E_2\), illetve a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle E_1\), \(\displaystyle E_2\) pontokon átmenő körök sugara egyenlő.
(4 pont)
B. 3758. Legyen az \(\displaystyle n\) pozitív páros szám. Írjuk az \(\displaystyle 1,2,\dots,n^2\) számokat egy \(\displaystyle n\times n\)-es táblázat mezőibe úgy, hogy a táblázat \(\displaystyle k\)-adik sorában az elemek balról jobbra olvasva rendre \(\displaystyle (k-1)n + 1, (k-1)n + 2, \dots, (k-1)n + n\) legyenek \(\displaystyle (k = 1,2,\dots,n)\).
Színezzük ki az így kitöltött táblázat mezőit bordó és sárga színnel úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban a mezők fele bordó, a másik fele pedig sárga legyen. (A sakktábla-szerű színezés például egy lehetőség.) Bizonyítsuk be, hogy minden ilyen színezésre a bordó és a sárga mezőkön lévő számok összege egyenlő.
(4 pont)
B. 3759. Bizonyítsuk be, hogy minden \(\displaystyle k\) pozitív egész számra \(\displaystyle (2k)!\) osztható \(\displaystyle k!\cdot (k+1)!\)-sal.
(4 pont)
B. 3760. Az ábrán látható téglatestben az \(\displaystyle EH\) él felezőpontja \(\displaystyle S\), a \(\displaystyle HG\) él felezőpontja \(\displaystyle R\) és a \(\displaystyle GF\) él felezőpontja \(\displaystyle Q\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle ASR\) és a \(\displaystyle DRQ\) háromszögek területe egyenlő.
(4 pont)
B. 3761. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:
$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}+\frac{1}{2y} & = & (x^2+3y^2)(3x^2+y^2),\\[9pt] \frac{1}{x}-\frac{1}{2y} & = & 2(y^4-x^4). \end{eqnarray*}$$(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. november 15-én LEJÁRT. |
A. 353. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle 2^{2^n}+1\) és \(\displaystyle 6^{2^n}+1\) sorozatok együttvéve végtelen sok összetett számot tartalmaznak.
(5 pont)
A. 354. Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle 2+ \frac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{5+\dots}}}}}=e. \)
(5 pont)
A. 355. Az MO űrvárosban \(\displaystyle 100\) űrállomás van. Bármely kettőt alagút köt össze. Az alagutak közül \(\displaystyle 100\)-ban kétirányú, a többiben egyirányú a közlekedés. \(\displaystyle 4\) űrállomást szorosan kapcsolódónak nevezünk, ha bármelyikükről eljuthatunk a többi háromba a \(\displaystyle 4\) állomás közti alagutakon keresztül. Tervezzük meg az MO várost úgy, hogy abban a lehető legtöbb szorosan kapcsolódó négyes legyen. Adjuk meg a maximumot, és bizonyítsuk is be.
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)