A KöMaL 2004. novemberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
K-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. december 10-én LEJÁRT. |
K. 13. Határozzuk meg a \(\displaystyle 7^1+7^2+\ldots +7^{2005}\) összeg utolsó két számjegyét.
(6 pont)
K. 14. Alsóhuta, Felsőhuta és Középhuta között számos út vezet. Tudjuk azonban, hogy bármely két falu között a közvetlen utak száma legalább \(\displaystyle 3\) és legfeljebb \(\displaystyle 10\). Alsóhutáról Felsőhutára eljuthatunk közvetlenül, valamint Középhután keresztül is, összesen \(\displaystyle 33\) különböző útvonalon. Hasonlóan Középhutáról Felsőhuta közvetlenül, valamint Alsóhuta érintésével is megközelíthető, összesen \(\displaystyle 23\) különböző módon. Hány különböző útvonal vezet összesen Középhutáról Alsóhutára (közvetlenül, illetve Felsőhután keresztül)?
Példa: Az ábrán Alsóhutáról Felsőhutára \(\displaystyle 2\) út vezet közvetlenül és \(\displaystyle 3\cdot 2=6\) Középhután keresztül, ez összesen \(\displaystyle 8\).
(6 pont)
K. 15. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög \(\displaystyle A\) csúcsánál \(\displaystyle 100^\circ\)-os szög van. Tudjuk, hogy az \(\displaystyle AC\) átló egy egyenlő oldalú és egy egyenlő szárú háromszögre osztja a négyszöget. Számítsuk ki a négyszög belső szögeinek nagyságát.
(6 pont)
K. 16. \(\displaystyle a)\) A \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 6\) számjegyek egyszeri felhasználásával alkossunk két darab kétjegyű számot úgy, hogy szorzatuk a lehető legnagyobb legyen.
\(\displaystyle b)\) A \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 4\) számjegyek egyszeri felhasználásával alkossunk három darab kétjegyű számot úgy, hogy szorzatuk a lehető legnagyobb legyen.
Indokoljuk is mindkét esetben, hogy miért a kapott számok lesznek a megfelelő számok.
(6 pont)
K. 17. Az \(\displaystyle ABCD\) konkáv négyszög oldalai \(\displaystyle AB=13~\rm cm\), \(\displaystyle BC=4~\rm cm\), \(\displaystyle CD=3~\rm cm\), \(\displaystyle DA= 12~\rm cm\), a \(\displaystyle C\) csúcsnál lévő belső szöge pedig \(\displaystyle 270^\circ\). Mekkora a négyszög területe?
(6 pont)
K. 18. Határozzuk meg az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) különböző számjegyeket úgy, hogy \(\displaystyle \overline{abcd} :\overline{dcba} =4\), ahol \(\displaystyle \overline{abcd}\) és \(\displaystyle \overline{dcba}\) négyjegyű számokat jelöl.
(6 pont)
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. december 15-én LEJÁRT. |
C. 780. Egy matematika versenyen három feladatot tűztek ki. Az első feladatot a résztvevők 85 százaléka oldotta meg, a másodikat 80, a harmadikat pedig 75 százalékuk. Bizonyítsuk be, hogy legalább 40 százalékuk megoldotta mind a három feladatot.
(5 pont)
C. 781. Határozzuk meg azokat a pozitív \(\displaystyle p>q>r\) prímszámokat, amelyekre
\(\displaystyle p^2- {(q+r)}^2=136. \)
(5 pont)
C. 782. A parttal párhuzamosan, attól \(\displaystyle 200\) méterre halad egy vitorlás a Balatonon. Valaki folyamatosan egy irányban úszva szeretné elérni a közeledő hajót. A parthoz képest milyen szögben kell elindulnia, ha a vitorlás sebessége \(\displaystyle 15~\rm km/h\), az úszó sebessége \(\displaystyle 2~\rm km/h\), és induláskor a parton mérve \(\displaystyle 2~\rm km\) távolságban van a hajótól?
(5 pont)
C. 783. Az ábrán látható szürkével jelölt tartományt az \(\displaystyle A\) csúcsú \(\displaystyle 30^{\circ}\)-os szög szárai és egy \(\displaystyle O\) középpontú körív határolják. Mekkora a tartomány területe, ha
\(\displaystyle AO=AB=1. \)
(5 pont)
C. 784. Az \(\displaystyle ABCDEFGH\) téglatestben – a szokásos betűzéssel – \(\displaystyle AE = 1\), \(\displaystyle AD = 2\), \(\displaystyle AB =3\). Mekkora annak a testnek a térfogata, amelynek a csúcsai \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\), valamint az \(\displaystyle EFGH\) lap éleinek a felezőpontjai?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. december 15-én LEJÁRT. |
B. 3762. Két vízzel színültig töltött henger alakú tartályból pontosan délben egy-egy azonos teljesítményű szivattyú egyenletes sebességgel szivattyúzni kezdte a vizet. \(\displaystyle 14\) órakor a két tartályban ugyanolyan magasan állt a víz. \(\displaystyle 17\) órakor kiürült az első tartály, \(\displaystyle 20\) órakor pedig a második tartály is. Ha a második tartály \(\displaystyle 10\) méter magas, akkor milyen magas az első?
(3 pont)
B. 3763. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög belsejében adott egy \(\displaystyle P\) pont. Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle PA^2+PB^2+PC^2+PD^2\ge 2t_{ABCD}. \)
(3 pont)
B. 3764. Az \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle A\)-hoz közelebbi negyedelőpontja \(\displaystyle C_1\), a \(\displaystyle BC\) oldal negyedelőpontjai pedig \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle A_2\) és \(\displaystyle A_3\). Mekkora az \(\displaystyle AA_1C_1\), az \(\displaystyle AA_2C_1\) és az \(\displaystyle AA_3C_1\) szögek összege?
(4 pont)
B. 3765. Adott \(\displaystyle 25\) különböző, \(\displaystyle 1000\)-nél nem nagyobb pozitív egész szám úgy, hogy bármely kettőnek a szorzata négyzetszám. Bizonyítsuk be, hogy az adott számok is négyzetszámok.
(4 pont)
B. 3766. Egy matematika versenyen négy feladatot tűztek ki. Az első feladatot a résztvevők 85 százaléka oldotta meg, a másodikat 80, a harmadikat 75, a negyediket pedig 70 százalékuk. A résztvevőknek legalább hány százaléka oldotta meg valamennyi feladatot?
(4 pont)
B. 3767. Egy háromszög \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), \(\displaystyle \gamma\) szögeire
\(\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =(\cos \alpha +\cos \beta)\sin \gamma \)
teljesül. Mekkora a \(\displaystyle \gamma\) szög?
(3 pont)
B. 3768. Egy \(\displaystyle T_0\) téglalapot az egyik oldalával párhuzamosan szétvágunk két nem egybevágó téglalapra, \(\displaystyle T_1\)-re és \(\displaystyle T_1'\)-re úgy, hogy a két rész hasonló legyen. Az így adódó \(\displaystyle T_1\) téglalapra megismételjük ugyanezt, a kapott részek egyikére ismét, és így tovább. Van-e olyan \(\displaystyle T_0\) téglalap, amelyből kiindulva ez az eljárás korlátlanul folytatható?
(5 pont)
B. 3769. Adott egy ellipszis három érintője és egyik fókusza. Szerkesszük meg a másik fókuszát.
(4 pont)
B. 3770. Hány részre osztják a teret egy szabályos oktaéder lapsíkjai?
(5 pont)
B. 3771. Legyen \(\displaystyle a_k=\frac{1}{\binom{n}{k}}\), \(\displaystyle b_k= \frac{1}{2^{n-k}}\), \(\displaystyle k = 1,2,\dots,n\).
Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle a_1+ \frac{a_2}{2}+ \frac{a_3}{3}+\ldots+ \frac{a_n}{n}= b_1+ \frac{b_2}{2}+ \frac{b_3}{3}+\ldots+ \frac{b_n}{n}. \)
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2004. december 15-én LEJÁRT. |
A. 356. A \(\displaystyle P_n(x)\) polinomsorozatot a következő rekurzióval definiáljuk: \(\displaystyle P_0(x)=0\), \(\displaystyle P_1(x)=1\) és \(\displaystyle P_n(x)=x\cdot P_{n-1}(x)+(1-x)\cdot P_{n-2}(x)\). Határozzuk meg \(\displaystyle P_n(x)\) gyökeit.
(5 pont)
A. 357. Adottak a \(\displaystyle k_1,k_2,k_3, \dots\) diszjunkt körök. A \(\displaystyle k_i\) kör sugara \(\displaystyle \frac{1}{i}\), középpontja \(\displaystyle P_i\). Lehetséges-e, hogy a \(\displaystyle P_i\) pontsorozat konvergens?
(5 pont)
A. 358. Az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pozitív számokra teljesül, hogy \(\displaystyle abc=1\). Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}- \frac{3}{a+b+c}\ge 2 \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\cdot \frac{1}{a^2+b^2+c^2}. \)
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)