A KöMaL 2004. decemberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
K-jelű feladatokA beküldési határidő 2005. január 10-én LEJÁRT. |
K. 19. Vegyünk egy kétjegyű számot, szorozzuk össze a számjegyeit, majd a kapott számmal ezt addig ismételjük, míg egy egyjegyű számot kapunk. Hány olyan kétjegyű szám van, amelynél a végén kapott egyjegyű szám \(\displaystyle 0\)?
(6 pont)
K. 20. Ököritófülpös-felső vasútállomásán minden évben állítanak karácsonyfát. Az állomásfőnöknek van hét különböző színű karácsonyfa-lámpácskája, amelyek egymástól függetlenül kapcsolhatók fel és le; szépérzéke azonban nem engedi, hogy a rózsaszín és a lila lámpácska egyszerre legyen a fán. Az állomásfőnök december 7-én felhelyez néhány lámpát a fára. Hányféleképpen választhatja ki őket, ha azt akarja, hogy a felhelyezett lámpák január 6-ig minden nap más kombinációban világítsanak a fán a megadott feltétel szerint?
(6 pont)
K. 21. \(\displaystyle 19\) darab szabályos dobókockát egy olyan alakzattá ragasztunk össze, melyet egy \(\displaystyle 3\times 3\times 3\)-as kocka sarokkockáinak elhagyásával kaphatunk meg. Úgy ragasztottuk össze a dobókockákat, hogy a kapott testen kívülről a lehető legkevesebb pötty legyen látható. Mennyi pöttyöt számolhatunk össze ekkor? (A szabályos dobókocka bármely két szemközti lapján összesen \(\displaystyle 7\) pötty van.)
(6 pont)
K. 22. Egy négyzetes oszlopnak van \(\displaystyle 49~\rm cm^{2}\) és \(\displaystyle 84~\rm cm^{2}\) területű lapja. Mekkora a térfogata?
(6 pont)
K. 23. A táblázat az ezévi naptár decemberi lapját mutatja.
\(\displaystyle \begin{matrix} \mathrm{H} & \mathrm{K} & \mathrm{Sz} & \mathrm{Cs} & \mathrm{P} & \mathrm{Sz} & \mathrm{V} \\ \hline &&1&2&3&4&5\\ 6&7&8&9&10&11&12\\ 13&14&15&16&17&18&19\\ 20&21&22&23&24&25&26\\ 27&28&29&30&31&&\\ \hline \end{matrix} \)
A táblázatban valamely \(\displaystyle 3\times 3\)-as négyzetcsoportban álló számok összege 160. Mennyi ezen számok közül a legkisebb?
(6 pont)
K. 24. Két, henger alakú, egyforma magasságú tartály áll egymás mellett. Az egyik \(\displaystyle 4~\rm m\) átmérőjű, és \(\displaystyle 12{,}5~\rm m\) magasan áll benne a víz. A másik \(\displaystyle 3~\rm m\) átmérőjű és üres. Az első tartályból a másodikba szivattyúzzuk át a vizet egy \(\displaystyle 10~\rm m^{3}/perc\) teljesítményű szivattyúval. Hány perc múlva lesz egyforma magasan a két tartályban a víz?
(6 pont)
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2005. január 15-én LEJÁRT. |
C. 785. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyik oszható \(\displaystyle 111\)-gyel és az utolsó négy jegye \(\displaystyle 2004\)?
(5 pont)
C. 786. Rögzíteni szeretnénk a függönyt a karnisra. Az egyenlő távolságokat akkor tudjuk egyszerűen biztosítani, ha a két szélső csipesz odacsíptetése után a maradékban van középső, sőt azt is megköveteljük, hogy ez minden további kettéosztásnál, a középső csipesz rögzítése után is teljesüljön. Hány csipeszt tehetünk a karnisra, ha így szeretnénk rögzíteni a függönyt?
(5 pont)
C. 787. Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) pozitív számok, akkor
\(\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{xy}}\le \frac{x}{y}+ \frac{y}{x}. \)
(5 pont)
C. 788. Ábrázoljuk az
\(\displaystyle x^5-10x^3y^2+5xy^4=0 \)
egyenlet megoldáshalmazát a derékszögű koordinátarendszerben.
(5 pont)
C. 789. Vízszintes síkra helyeztünk \(\displaystyle 8\) darab \(\displaystyle r\) sugarú golyót úgy, hogy középpontjaik egy szabályos \(\displaystyle 8\)-szög csúcsaiban vannak, a szomszédos golyók pedig érintik egymást. Mekkora annak a gömbnek a sugara, amelyik érinti a síkot és a golyókat?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2005. január 15-én LEJÁRT. |
B. 3772. Hány olyan \(\displaystyle (n;k)\) számpár van, amelyre \(\displaystyle n>k\), továbbá az \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) oldalú szabályos sokszögek belső szögének az eltérése \(\displaystyle 1^{\circ}\)?
(4 pont)
B. 3773. Osztható-e
\(\displaystyle 20^{2004}+16^{2004}-3^{2004}-1 \)
323-mal?
(3 pont)
B. 3774. Az egyenlő szárú derékszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) átfogóján adottak a \(\displaystyle K\) és az \(\displaystyle M\) pontok. \(\displaystyle K\) az \(\displaystyle A\) és az \(\displaystyle M\) között van, továbbá \(\displaystyle KCM\sphericalangle=45^{\circ}\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle AK^2+MB^2=KM^2\).
(3 pont)
B. 3775. Oldjuk meg az
\(\displaystyle y^3=x^3+8x^2-6x+8 \)
egyenletet a nemnegatív egészek körében.
(4 pont)
B. 3776. Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög \(\displaystyle BD\) átlója egyben a körülírt kör átmérője. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalainak a hossza legalább 1. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög területe nagyobb, mint \(\displaystyle \frac{1}{2}\) területegység.
(4 pont)
B. 3777. Az \(\displaystyle ABC\) egyenlő szárú háromszög szárszöge \(\displaystyle BAC\sphericalangle=\alpha\). A \(\displaystyle BC\) alapot \(\displaystyle B\)-től \(\displaystyle C\) felé haladva \(\displaystyle n\) egyenlő részre osztó pontok \(\displaystyle D_1, D_2,\dots, D_{n-1}\). Az \(\displaystyle AB\) szárat \(\displaystyle 1:(n-1)\) arányban osztó pont \(\displaystyle E\). Igazoljuk, hogy
\(\displaystyle AD_1E\sphericalangle+AD_2E\sphericalangle+\dots+AD_{n-1}E\sphericalangle= \frac{\alpha}{2}. \)
(4 pont)
B. 3778. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög átlói az \(\displaystyle E\) pontban metszik egymást. Igazoljuk, hogy
\(\displaystyle \big|t(ABE\triangle) - t(CDE\triangle)\big|\le \frac{1}{2} AD \cdot BC. \)
(4 pont)
B. 3779. Tekintsük azokat a síkokat, amelyek a \(\displaystyle 2\) egység élű kocka egy-egy csúcsából kiinduló élek felezőpontján mennek át. Mekkora a síkok által határolt konvex test térfogata?
(3 pont)
B. 3780. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) pozitív számokra teljesül az alábbi egyenlőtlenség:
\(\displaystyle \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\le \frac{x}{y}+ \frac{y}{z}+ \frac{z}{x}. \)
(5 pont)
B. 3781. Határozzuk meg a \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \mathop{\rm arcctg} \, (2n^2)\) összeg értékét.
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2005. január 15-én LEJÁRT. |
A. 359. Az \(\displaystyle f\colon R\to R\) monoton függvényre és \(\displaystyle c_1, c_2>0\) konstansokra teljesül, hogy
\(\displaystyle f(x)+f(y)-c_1\le f(x+y) \le f(x)+f(y)+c_2 \)
minden \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számra. Mutassuk meg, hogy létezik olyan \(\displaystyle k\) szám, melyre \(\displaystyle f(x)-kx\) korlátos függvény.
(5 pont)
A. 360. \(\displaystyle 50\) szenátor szavaz három alternatív javaslatról, mindegyikük pontosan az egyikre szavaz. El kell készíteni a ,,forgatókönyvet'', azaz megmondani, hogy a szavazás alapján melyik alternatíva győz. Ehhez egy \(\displaystyle 51\) soros és \(\displaystyle 3^{50}\) oszlopos táblázatot készítünk, az első ötven sorban a szenátorok lehetséges szavazataival, az utolsó sorban pedig a szavazatok ilyen alakulása mellett a nyertes alternatívával. A táblázatnak a következő tulajdonságokkal kell rendelkeznie:
- egyhangúság: ha mindenki ugyanarra szavaz, akkor az eredmény is az legyen
- konzisztencia: ha mindenki megváltoztatja a szavazatát, akkor az eredmény is változzon meg
- demokrácia: ne legyen olyan szenátor, akinek a szavazata minden esetben eldönti az eredményt.
Igazoljuk, hogy nem lehet ilyen táblázatot készíteni.
(5 pont)
A. 361. Bizonyítsuk be az alábbi, prímekre vonatkozó egyenlőtlenséget \(\displaystyle n\ge 3\) esetén:
\(\displaystyle \sum_{\substack{p\le n\\p \text{ prím}}} \frac{1}{\sqrt{p}} \ge \frac{1}{2} \log n- \log\log n, \)
ahol \(\displaystyle \log\) a természetes logaritmus.
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)